Una de las acciones más comunes en el álgebra de nuestra tierna infancia, es la de reducir términos semejantes, esto es por ejemplo:
5x+2x = 7x
4x-9x = -5x
(1/4)x + (1/2)x = (3/4)x (un cuarto de x más un medio de x es igual a tres cuartos de x)
Para lo cual pasamos a nuestra primera proposición.
Proposición: (x Є R) ---> (x+x = 2x) (Se lee, si X es elemento de los Reales, entonces X+X = 2X)
Demostración (Esto se llama método directo de demostración):
x + x = x1 + x1......Debido a que x = x1, por el axioma del neutro multiplicativo.
x1 + x1 = x (1+1)....... Por la propiedad distributiva (axioma 9)
x (1+1) = x (2) ........... Ya que 1+1=2
x (2) = 2x................Por el axioma de conmutatividad para el producto.
Y finalmente, como (=) es una relación de equivalencia, está implícito que cumple con la propiedad transitiva, por lo cual podemos asegurar (por una cadenita desde el primero hasta el último) que x+x = 2x
Otra forma de escribir ésta demostración de forma más abreviada (que de hecho es lo mismo, pero escrito diferente) por si alguien no le entendió del todo al anterior, es la siguiente:
x+x = x1 + x1
x+x = x (1+1)
x+x = x (2)
x+x = 2x
De la misma forma (abreviada, y por método directo) demostraremos que 4x - 9x = -5x Pero antes debemos recordar que hemos definido a la resta, como una suma de números reales. Esto es: a-b = a+(-b). Ya que en nuestro campo de Reales no existe la operación resta como vimos en clase. Ahora si, tenemos
Proposición (x Є R) ---> (4x - 9x = -5x)
Demostración
4x - 9x = 4x + (-9)(x)......Definición de resta
4x - 9x = x(4) + x(-9)........Propiedad conmutativa
4x - 9x = x (4+(-9))..........Propiedad distributiva
4x - 9x = x (-5).................4+(-9) = -5
4x - 9x = -5x....................Propiedad conmutativa
Si los números fueran fracciones, sucede exactamente lo mismo. Así que de forma general, podemos demostrar que si m y n son 2 números reales cualesquiera (2, -20, 1/4, etc.) se cumple que mx + nx = (m+n) x como sucede en los ejemplos anteriores.
Entonces tenemos:
Proposición: (x,m,n Є R) ---> mx + nx = (m+n) x
Demostración:
Consideremos x,m,n números reales.
mx + nx = xm + xn........Propiedad conmutativa
mx + nx = x (m+n)........Propiedad distributiva
mx + nx = (m+n) x........Propiedad conmutativa
Y como ejemplo, supongamos m=15, n=20
15x + 20x = (15+20) x = 35x
Por transitividad: 15x+20x = 35x
A continuación escribo su tarea.
EJERCICIOS
Resolver las siguientes ecuaciones para "x", reduciendo términos semejantes
1.- (1/4)x + (5/2) x = 3
2.- 8x + 4 = -4x - 8
3.- 250x + 26 = -50x + 6
4.- 8x+4y+12x = 16+ 5y
5.- -5x+12y+m = 15x-8y+5m
6.- 5x+1 = 0+5x (decir qué ocurre en éste caso)
7.- Demostrar que (1/4)x + (7/2)x = (15/4)x
lo
Mensaje para todos, sobre el curso.
Alumnos del curso de ingreso a preparatoria 2011:
Por razón de que nadie ha tomado en cuenta la ayuda "extra" que les ofrecemos y cada quien ha hecho lo que quiere, como faltar cuando quieren, salirse cuando quieren sin justificación alguna, y demás cosas que ya saben; cambiamos la forma de trabajo, quedando ahora como sigue:
Durante la semana colocaremos información relevante o enlaces en éste blog para que lo estudien, y en las clases de los fines de semana nos hagan saber las dudas que tienen sobre cualquier tema, teniendo en cuenta que para pedirnos resolver dudas, primero deben haber hecho el esfuerzo por intentar entender el tema, lo cual tomaremos en cuenta (significa que no resolveremos ninguna duda si nos aseguramos de que no hicieron el esfuerzo por investigarla ustedes mismos). En las clases se harán repaso de los temas, y se plantearán problemas que tengan que ver con los temas que hayan estudiado entre semana.
Acerca del repaso, debemos entender que si alguien sólo estudia con nosotros los fines de semana, escuchando los repasos, es imposible que puedan prepararse así para el examen; ya que dichos repasos son muy generales y sólo sirven como base para que ustedes puedan entender mejor ciertos temas. Dicho de otro modo, el repaso de las clases no son para estudiar, sino para asimilar lo ya estudiado previamente (eso significa repasar).
Los problemas de las clases serán en base a lo que hayan estudiando. Teniendo por consecuencia, que si alguien no hizo nada durante la semana, llegará a las clases (como casi todos el día de hoy) sin tener idea de nada, aburriéndose porque no entienden nada, y retirándose sin avisar antes (está de más decir que es una falta de respeto, como en cualquier clase de cualquier escuela).
Consideremos que esta forma de trabajo sin la "ayuda extra" que les habíamos dado previamente (eso de explicarles los temas detalladamente), es la forma normal de cualquier curso para ingreso a bachillerato (pueden investigarlo por ustedes mismos).
No está de más decirles que no pueden tener todo a la vez, y deben elegir, por ejemplo:
-Elegir entre sus problemas familiares que todos tenemos, o prepararse para una escuela que determinará su futuro.
-Elegir entre salir de viaje o irse de vacaciones, o estudiar para un sólo examen.
-Elegir entre la fiesta de la tarde, la salida con los amigos donde "no podemos" faltar, o el simple hecho de no salir de casa, o ir al curso donde no habrá ninguna diversión pero podríamos alcanzar cierto conocimiento que otros no tendrán por haberlo cambiado por una fiesta.
No olvidemos la platica de quien va en la Preparatoria 149, que estaba arrepentida de no ir a uno de los cursos porque se estaba preparando para sus 15 años, y "no podía faltar". Así que cambió la formación universitaria de la preparatoria de la UNAM por una formación de "bachiller" y por un vals de 15 años. Aclaro lo de formación universitaria porque a los estudiantes de las preparatorias de la UNAM o CCH, se les considera como universitarios (por si alguien pensaba que para la universidad falta mucho) por el tipo de formación que reciben, muy diferentes de cualquier otra escuela del país (no por nada en los examenes de admisión son las más competidas).
Por eso es que deben elegir, y no pueden tener todo a la vez, yo no puedo hacer 2 cosas a medias porque ni una ni la otra me habrán servido de nada.
Durante estos días iremos subiendo la información o enlaces que pueden consultar, así como tareas que pueden resolver y entregarlas por correo o durante la clase para decirles en qué están fallando. Si no hacen dichas tareas no es algo que deba aquejarnos, por lo cual nunca les pediremos que las entreguen. Quienes las hagan pueden entregarlas cuando gusten sin mayor problema (incluso ejercicios que ustedes mismos hayan sacado de algún libro y quieran que los revisemos, lo haremos con gusto).
En conclusión, dejamos de interesarnos porque estudien debido a que ustedes mismos no están interesados; pero eso no quita el hecho de que los apoyemos cuando se decidan a aprender pero que sientan algunas dificultades en ciertos temas, y como escribí anteriormente, el único requisito para resolver dudas y tomarnos el tiempo que sea necesario para explicarles, es que muestren interés en aprender (y de hecho de ese modo jamás nos hemos negado o hemos mostrado desesperación alguna).
Que tengan todos un buen día, nos vemos el sábado.
PD: cualquier duda o comentario pueden escribirlo en cualquiera de las entradas del blog (la más reciente de preferencia).
Por razón de que nadie ha tomado en cuenta la ayuda "extra" que les ofrecemos y cada quien ha hecho lo que quiere, como faltar cuando quieren, salirse cuando quieren sin justificación alguna, y demás cosas que ya saben; cambiamos la forma de trabajo, quedando ahora como sigue:
Durante la semana colocaremos información relevante o enlaces en éste blog para que lo estudien, y en las clases de los fines de semana nos hagan saber las dudas que tienen sobre cualquier tema, teniendo en cuenta que para pedirnos resolver dudas, primero deben haber hecho el esfuerzo por intentar entender el tema, lo cual tomaremos en cuenta (significa que no resolveremos ninguna duda si nos aseguramos de que no hicieron el esfuerzo por investigarla ustedes mismos). En las clases se harán repaso de los temas, y se plantearán problemas que tengan que ver con los temas que hayan estudiado entre semana.
Acerca del repaso, debemos entender que si alguien sólo estudia con nosotros los fines de semana, escuchando los repasos, es imposible que puedan prepararse así para el examen; ya que dichos repasos son muy generales y sólo sirven como base para que ustedes puedan entender mejor ciertos temas. Dicho de otro modo, el repaso de las clases no son para estudiar, sino para asimilar lo ya estudiado previamente (eso significa repasar).
Los problemas de las clases serán en base a lo que hayan estudiando. Teniendo por consecuencia, que si alguien no hizo nada durante la semana, llegará a las clases (como casi todos el día de hoy) sin tener idea de nada, aburriéndose porque no entienden nada, y retirándose sin avisar antes (está de más decir que es una falta de respeto, como en cualquier clase de cualquier escuela).
Consideremos que esta forma de trabajo sin la "ayuda extra" que les habíamos dado previamente (eso de explicarles los temas detalladamente), es la forma normal de cualquier curso para ingreso a bachillerato (pueden investigarlo por ustedes mismos).
No está de más decirles que no pueden tener todo a la vez, y deben elegir, por ejemplo:
-Elegir entre sus problemas familiares que todos tenemos, o prepararse para una escuela que determinará su futuro.
-Elegir entre salir de viaje o irse de vacaciones, o estudiar para un sólo examen.
-Elegir entre la fiesta de la tarde, la salida con los amigos donde "no podemos" faltar, o el simple hecho de no salir de casa, o ir al curso donde no habrá ninguna diversión pero podríamos alcanzar cierto conocimiento que otros no tendrán por haberlo cambiado por una fiesta.
No olvidemos la platica de quien va en la Preparatoria 149, que estaba arrepentida de no ir a uno de los cursos porque se estaba preparando para sus 15 años, y "no podía faltar". Así que cambió la formación universitaria de la preparatoria de la UNAM por una formación de "bachiller" y por un vals de 15 años. Aclaro lo de formación universitaria porque a los estudiantes de las preparatorias de la UNAM o CCH, se les considera como universitarios (por si alguien pensaba que para la universidad falta mucho) por el tipo de formación que reciben, muy diferentes de cualquier otra escuela del país (no por nada en los examenes de admisión son las más competidas).
Por eso es que deben elegir, y no pueden tener todo a la vez, yo no puedo hacer 2 cosas a medias porque ni una ni la otra me habrán servido de nada.
Durante estos días iremos subiendo la información o enlaces que pueden consultar, así como tareas que pueden resolver y entregarlas por correo o durante la clase para decirles en qué están fallando. Si no hacen dichas tareas no es algo que deba aquejarnos, por lo cual nunca les pediremos que las entreguen. Quienes las hagan pueden entregarlas cuando gusten sin mayor problema (incluso ejercicios que ustedes mismos hayan sacado de algún libro y quieran que los revisemos, lo haremos con gusto).
En conclusión, dejamos de interesarnos porque estudien debido a que ustedes mismos no están interesados; pero eso no quita el hecho de que los apoyemos cuando se decidan a aprender pero que sientan algunas dificultades en ciertos temas, y como escribí anteriormente, el único requisito para resolver dudas y tomarnos el tiempo que sea necesario para explicarles, es que muestren interés en aprender (y de hecho de ese modo jamás nos hemos negado o hemos mostrado desesperación alguna).
Que tengan todos un buen día, nos vemos el sábado.
PD: cualquier duda o comentario pueden escribirlo en cualquiera de las entradas del blog (la más reciente de preferencia).
Números Reales (Introducción)
La Unidad III del libro está dedicada a los números reales, que es lo que veremos en las clases. Una muy buena introducción, es el glosario que viene al principio de la unidad, donde se explican los principales conceptos de una forma muy entendible. Estudien muy bien el glosario (con estudien no me refiero a "léanlo" 2 veces, sino que cada concepto lo lean unas 10 veces y luego los reflexionen).
En el libro se utiliza la palabra "postulados" que es lo que nosotros conocemos como axiomas. Y de esos axiomas se construyen los teoremas, por ejemplo el teorema (a)(0) = 0, o aquél teorema que dice que al multiplicar un número negativo por uno positivo, nos da un negativo, y cosas por el estilo.
En matemáticas, se llama un CAMPO a aquél conjunto que tiene 2 operaciones binarias, y que cumple con una serie de axiomas (o postulados) de los cuales veremos algunos en clase (no todos, porque algunos son algo complicados).
Un ejemplo de campo son los Números Reales (R) ya que tiene 2 operaciones binarias (adición y producto) y cumple con dichos axiomas (por ejemplo el de la conmutatividad, distributividad, asociatividad, o el axioma del supremo, el cual nunca veremos en clase).
Debemos decir que en el campo de R (números reales) no existe, por principio, ni la resta ni la división, ni cualquier otra operación. Estas operaciones (resta, división, radicación, etc.) pueden definirse a partir de otras (por ejemplo la resta, como una forma derivada de la adición como veremos más adelante), pero no es que existan por principio en los reales (R).
Los axiomes vistos en clase son los siguientes:
Si a,b,c Є R, se cumple:
Propiedad conmutativa
Para adición............ a+b = b+a
Para el producto....... ab = ba
Propiedad asociativa
Para adición......... (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
Para producto...... (ab)c = a(bc) = abc
Identidad (propiedad modulativa)
Para adición......... a+0=a
Para el producto... a·1 = a
Inversos
Para adición..........a+(-a)=0 (significa que para todo número real positivo, existe un negativo; y además si los sumamos, siempre obtenemos el neutro aditivo)
Para el producto.....a·a' = 1 (siendo a' el inverso multiplicativo de a)
Significa esto que para todo número real existe un inverso multiplicativo, tal que al multiplicarlos, obtendremos el neutro multiplicativo (el 1 ).
Propiedad distributiva
a(b+c) = ab+ac
En este caso se dice que el producto es distributivo respecto a la adición.
En el libro se utiliza la palabra "postulados" que es lo que nosotros conocemos como axiomas. Y de esos axiomas se construyen los teoremas, por ejemplo el teorema (a)(0) = 0, o aquél teorema que dice que al multiplicar un número negativo por uno positivo, nos da un negativo, y cosas por el estilo.
En matemáticas, se llama un CAMPO a aquél conjunto que tiene 2 operaciones binarias, y que cumple con una serie de axiomas (o postulados) de los cuales veremos algunos en clase (no todos, porque algunos son algo complicados).
Un ejemplo de campo son los Números Reales (R) ya que tiene 2 operaciones binarias (adición y producto) y cumple con dichos axiomas (por ejemplo el de la conmutatividad, distributividad, asociatividad, o el axioma del supremo, el cual nunca veremos en clase).
Debemos decir que en el campo de R (números reales) no existe, por principio, ni la resta ni la división, ni cualquier otra operación. Estas operaciones (resta, división, radicación, etc.) pueden definirse a partir de otras (por ejemplo la resta, como una forma derivada de la adición como veremos más adelante), pero no es que existan por principio en los reales (R).
Los axiomes vistos en clase son los siguientes:
Si a,b,c Є R, se cumple:
Propiedad conmutativa
Para adición............ a+b = b+a
Para el producto....... ab = ba
Propiedad asociativa
Para adición......... (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
Para producto...... (ab)c = a(bc) = abc
Identidad (propiedad modulativa)
Para adición......... a+0=a
Para el producto... a·1 = a
Inversos
Para adición..........a+(-a)=0 (significa que para todo número real positivo, existe un negativo; y además si los sumamos, siempre obtenemos el neutro aditivo)
Para el producto.....a·a' = 1 (siendo a' el inverso multiplicativo de a)
Significa esto que para todo número real existe un inverso multiplicativo, tal que al multiplicarlos, obtendremos el neutro multiplicativo (el 1 ).
Propiedad distributiva
a(b+c) = ab+ac
En este caso se dice que el producto es distributivo respecto a la adición.
Sobre la clase del próximo sabado 5 de marzo.
Alumnos:
Les informo que Si habrá clase el próximo sabado 5, debido a que ya no podemos perder más tiempo, ya que aún nos hacen falta cubrir muchas materias..
Les informo que Si habrá clase el próximo sabado 5, debido a que ya no podemos perder más tiempo, ya que aún nos hacen falta cubrir muchas materias..
Les recuerdo que mañana comenzaremos ahora si con Historia, es necesario que revisen los temas de la división de la historia, osea de las etapas en las que está dividida ( que ya habiamos visto un poco en clase) y algo acerca de las civilizaciones antiguas; Mesopotamia, China, Egipto, India, Roma y Grecia.
Aun así, nuestra revisión de la materia de Matemáticas va a continuar, puesto que como ya se habrán dado cuenta, aun hay muchas cosas que siguen estando poco claras y muchas dudas, además de que apenas comenzamos con Álgebra, por lo que deben de ser concientes de que si llegan a faltar, perderan demasiados temas importantes para su examen.
Bueno chicos, eso es todo por ahora, nos vemos mañana. =)
Relación de equivalencia.
Una relación de equivalencia (llamémosla ¬) es aquella relación que cumple con las siguientes propiedades:
P. Reflexiva a¬a
P. Simétrica a¬b ----> b¬a
P. Transitiva a¬b y b¬c ----> a¬c
El signo (=) en el campo de los números reales, es una relación de equivalencia, ya que cumple con las 3 propiedades anteriores, mas otras 2 de uniformidad. Por lo tanto se cumple que si a,b,c,m,n Є R (a, b, c, m y n son elementos del conjunto de Números Reales), entonces:
1.- P. Reflexiva a=a
2.- P. Simétrica a=b ---> b=a
3.- P. Transitiva (a=b Λ b=c) ---> a=c
4.- P. Aditiva (de uniformidad para la suma)
...........................(a=b Λ n=m) ---> a+n=b+m
5.- P. Multiplicativa (de uniformidad para la multiplicación)
...........................(a=b Λ n=m) ---> an=bm
En el libro que vamos a trabajar en la clase, se incluye otra propiedad, llamada Propiedad de Sustitución, que es como sigue:
P sustitución (a=b Λ m=b) ---> a=m
Pero nos damos cuenta de que es otra forma de la propiedad transitiva; por lo cual no la he incluído en la clase.
Por ejemplo, si a=x+8 y 2x=a entonces 2x=x+8
Para todo esto les recuerdo que ustedes deben de hacer un esfuerzo por entender las notas, y no esperar que todo se los expliquemos de la forma más sencilla. También que si no revisan los primeros temas del libro (sobre conjuntos y lógica) se les hará muy difícil entender las clases, y más aún, los ejercicios; pero todavía más, en sus clases de preparatoria, ya que como dijimos, esos 2 temas es lo primero que se ve durante su curso de matemáticas del primer semestre. Por lo cual también resulta absurdo que alguien se queje de que no vimos X tema, puesto que el curso no es para enseñar, sino para repasar; el aprendizaje es de ustedes durante la semana.
P. Reflexiva a¬a
P. Simétrica a¬b ----> b¬a
P. Transitiva a¬b y b¬c ----> a¬c
El signo (=) en el campo de los números reales, es una relación de equivalencia, ya que cumple con las 3 propiedades anteriores, mas otras 2 de uniformidad. Por lo tanto se cumple que si a,b,c,m,n Є R (a, b, c, m y n son elementos del conjunto de Números Reales), entonces:
1.- P. Reflexiva a=a
2.- P. Simétrica a=b ---> b=a
3.- P. Transitiva (a=b Λ b=c) ---> a=c
4.- P. Aditiva (de uniformidad para la suma)
...........................(a=b Λ n=m) ---> a+n=b+m
5.- P. Multiplicativa (de uniformidad para la multiplicación)
...........................(a=b Λ n=m) ---> an=bm
En el libro que vamos a trabajar en la clase, se incluye otra propiedad, llamada Propiedad de Sustitución, que es como sigue:
P sustitución (a=b Λ m=b) ---> a=m
Pero nos damos cuenta de que es otra forma de la propiedad transitiva; por lo cual no la he incluído en la clase.
Por ejemplo, si a=x+8 y 2x=a entonces 2x=x+8
Para todo esto les recuerdo que ustedes deben de hacer un esfuerzo por entender las notas, y no esperar que todo se los expliquemos de la forma más sencilla. También que si no revisan los primeros temas del libro (sobre conjuntos y lógica) se les hará muy difícil entender las clases, y más aún, los ejercicios; pero todavía más, en sus clases de preparatoria, ya que como dijimos, esos 2 temas es lo primero que se ve durante su curso de matemáticas del primer semestre. Por lo cual también resulta absurdo que alguien se queje de que no vimos X tema, puesto que el curso no es para enseñar, sino para repasar; el aprendizaje es de ustedes durante la semana.
Sistemas de ecuaciones
Sistemas de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas.
Hola chicos y chicas....
Les pongo ahora, una explicación acerca de SISTEMAS DE ECUACIONES. Los ejemplos me parecen muy buenos y el artículo muy bien explicado, asi que chequenlo y la tarea será resolver los ejercicios de cada uno de los métodos, que son tres:
1.Método de suma y resta o de eliminación.
2.Método de igualación.
3.Método por sustitucion.
1.Método de reducción por suma o resta (o de eliminación).
Ejemplo:
6.x - 7.y = 5
8.x - 9.y = 7
8.x - 9.y = 7
1er Paso: Multiplicamos las 2 ecuaciones por un "número" (resultado del m.c.m. entre ellos), para igualar el valor numérico de los coeficientes de la incógnita "x" en las 2 ecuaciones.
2do Paso: Restamos las 2 ecuaciones para eliminar las incógnitas "x" luego resolvemos la ecuación.
3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones para obtener el valor de la incógnita "x" o bien se calcula está incógnita repitiendo los pasos anteriores.
6 x - 7 y = 5
6 x - 7 . (1) = 5
6 x - 7 = 5
6 x = 5 + 7
6 x = 12
x = 2
Por último; el conjunto solución es: (2 ; 1)
2. Método de igualación.
Ejemplo:
x + 3.y = 10
2.x + 5.y/4 = 1
2.x + 5.y/4 = 1
1er Paso: Se despeja la incógnita "x" de cada una de las ecuaciones dadas.
2do Paso: Igualamos las incógnitas "x" luego resolvemos la ecuación.
3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones despejadas para obtener el valor de la incógnita "x".
Por último; el conjunto solución es: (- 2 ; 4).
3. Método de sustitución
Ejemplo:
x + 2.y = 9
3.x - y = 13
3.x - y = 13
1er Paso: Se despeja la incógnita "x" de una de las ecuaciones dadas.
x + 2 y = 9
x = 9 - 2 y
2do Paso: Reemplazamos la incógnita "x", en la otra ecuación dada; para obtener el valor de la incógnita "y".
3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en la 1ra expresión obtenida; para obtener el valor de la incógnita "x".
x = 9 - 2 y
x = 9 - 2 . (2)
x = 9 - 4
x = 5
Por último; el conjunto solución es: (5 ; 2).
TAREAAAAAAA!!!
Aquí está su primer tarea por este medio.
FECHA DE ENTREGA : SABADO 19 DE fEBRERO.
Recuerden , pueden descargarla tambien a través de el siguiente enlace:
https://docs.google.com/document/d/18uulKKeQP8Efu96RA-tSYVhvHMRwDk8S3uizg-DJM_A/edit?hl=es
Hechenle Ganitas Alumnos del Curso 2011
=)
Temario!!!!!
Este es el archivo del temario de las materias para el examen.
Pueden descargarlo desde esta enlace
https://docs.google.com/document/d/1gQ5OgzylJ7W_wq-gvAGtWMnRUxukI-0C2MRkJpdnPsw/edit?hl=es
Mucha suerte en su primer semana de estudio independiente. =)
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