Números Reales (Introducción)

La Unidad III del libro está dedicada a los números reales, que es lo que veremos en las clases. Una muy buena introducción, es el glosario que viene al principio de la unidad, donde se explican los principales conceptos de una forma muy entendible. Estudien muy bien el glosario (con estudien no me refiero a "léanlo" 2 veces, sino que cada concepto lo lean unas 10 veces y luego los reflexionen).

En el libro se utiliza la palabra "postulados" que es lo que nosotros conocemos como axiomas. Y de esos axiomas se construyen los teoremas, por ejemplo el teorema (a)(0) = 0, o aquél teorema que dice que al multiplicar un número negativo por uno positivo, nos da un negativo, y cosas por el estilo.

En matemáticas, se llama un CAMPO a aquél conjunto que tiene 2 operaciones binarias, y que cumple con una serie de axiomas (o postulados) de los cuales veremos algunos en clase (no todos, porque algunos son algo complicados).

Un ejemplo de campo son los Números Reales (R) ya que tiene 2 operaciones binarias (adición y producto) y cumple con dichos axiomas (por ejemplo el de la conmutatividad, distributividad, asociatividad, o el axioma del supremo, el cual nunca veremos en clase).

Debemos decir que en el campo de R (números reales) no existe, por principio, ni la resta ni la división, ni cualquier otra operación. Estas operaciones (resta, división, radicación, etc.) pueden definirse a partir de otras (por ejemplo la resta, como una forma derivada de la adición como veremos más adelante), pero no es que existan por principio en los reales (R).

Los axiomes vistos en clase son los siguientes:

Si a,b,c Є R, se cumple:

Propiedad conmutativa
Para adición............ a+b = b+a
Para el producto....... ab = ba

Propiedad asociativa
Para adición......... (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
Para producto...... (ab)c = a(bc) = abc

Identidad (propiedad modulativa)
Para adición......... a+0=a
Para el producto... a·1 = a

Inversos
Para adición..........a+(-a)=0 (significa que para todo número real positivo, existe un negativo; y además si los sumamos, siempre obtenemos el neutro aditivo)

Para el producto.....a·a' = 1 (siendo a' el inverso multiplicativo de a)
Significa esto que para todo número real existe un inverso multiplicativo, tal que al multiplicarlos, obtendremos el neutro multiplicativo (el 1 ).

Propiedad distributiva
a(b+c) = ab+ac
En este caso se dice que el producto es distributivo respecto a la adición.