Reducción de términos semejantes

Una de las acciones más comunes en el álgebra de nuestra tierna infancia, es la de reducir términos semejantes, esto es por ejemplo:

5x+2x = 7x
4x-9x = -5x
(1/4)x + (1/2)x = (3/4)x (un cuarto de x más un medio de x es igual a tres cuartos de x)

Para lo cual pasamos a nuestra primera proposición.

Proposición: (x Є R) ---> (x+x = 2x) (Se lee, si X es elemento de los Reales, entonces X+X = 2X)

Demostración (Esto se llama método directo de demostración):

x + x = x1 + x1......Debido a que x = x1, por el axioma del neutro multiplicativo.

x1 + x1 = x (1+1)....... Por la propiedad distributiva (axioma 9)

x (1+1) = x (2) ........... Ya que 1+1=2

x (2) = 2x................Por el axioma de conmutatividad para el producto.

Y finalmente, como (=) es una relación de equivalencia, está implícito que cumple con la propiedad transitiva, por lo cual podemos asegurar (por una cadenita desde el primero hasta el último) que x+x = 2x

Otra forma de escribir ésta demostración de forma más abreviada (que de hecho es lo mismo, pero escrito diferente) por si alguien no le entendió del todo al anterior, es la siguiente:

x+x = x1 + x1
x+x = x (1+1)
x+x = x (2)
x+x = 2x

De la misma forma (abreviada, y por método directo) demostraremos que 4x - 9x = -5x Pero antes debemos recordar que hemos definido a la resta, como una suma de números reales. Esto es: a-b = a+(-b). Ya que en nuestro campo de Reales no existe la operación resta como vimos en clase. Ahora si, tenemos

Proposición (x Є R) ---> (4x - 9x = -5x)

Demostración

4x - 9x = 4x + (-9)(x)......Definición de resta
4x - 9x = x(4) + x(-9)........Propiedad conmutativa
4x - 9x = x (4+(-9))..........Propiedad distributiva
4x - 9x = x (-5).................4+(-9) = -5
4x - 9x = -5x....................Propiedad conmutativa

Si los números fueran fracciones, sucede exactamente lo mismo. Así que de forma general, podemos demostrar que si m y n son 2 números reales cualesquiera (2, -20, 1/4, etc.) se cumple que mx + nx = (m+n) x como sucede en los ejemplos anteriores.

Entonces tenemos:

Proposición: (x,m,n Є R) ---> mx + nx = (m+n) x

Demostración:

Consideremos x,m,n números reales.
mx + nx = xm + xn........Propiedad conmutativa
mx + nx = x (m+n)........Propiedad distributiva
mx + nx = (m+n) x........Propiedad conmutativa

Y como ejemplo, supongamos m=15, n=20
15x + 20x = (15+20) x = 35x

Por transitividad: 15x+20x = 35x

A continuación escribo su tarea.

EJERCICIOS

Resolver las siguientes ecuaciones para "x", reduciendo términos semejantes
1.- (1/4)x + (5/2) x = 3
2.- 8x + 4 = -4x - 8
3.- 250x + 26 = -50x + 6
4.- 8x+4y+12x = 16+ 5y
5.- -5x+12y+m = 15x-8y+5m
6.- 5x+1 = 0+5x (decir qué ocurre en éste caso)

7.- Demostrar que (1/4)x + (7/2)x = (15/4)x