Aclaro nuevamente que las próximas tareas las daré cuando me entreguen todas las pasadas y cuando me lo soliciten (si existe alguien que lo haga...).
Y te recuerdo que si cambias la prepa por una fiesta, por una reunión familiar, por unas pequeñas vacaciones, por un día de flojera y demás, no vas a llegar muy lejos. No olvides que no eres el único que tienes otros compromisos, o problemas familiares.
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La lógica es aquello que nos servirá para saber si nuestros razonamientos son correctos. Digamos que nos sirve para darle un buen orden a lo que razonemos.
Como dije antes, la lógica básicamente nos ayudará a demostrar X cosa, ya que la lógica nos ayudará a saber acomodar nuestros argumentos.
Por ejemplo, supondré verdadera la siguiente propisición:
"Si estudio 3 horas diarias pasaré mi examen"
En símbolos
p --> q
Donde
p= (estudio 3 horas diarias)
q= (pasaré mi examen)
Y yo quiero demostrar que si no estudio, es imposible que pase mi examen. "Si no estudio, no pasaré mi examen).
¬p ---> ¬q
Donde el signo (¬) significa una negación.
En este caso mi demostración no la puedo realizar, ya que alguien podría decirme "pero puedes copiar en el examen, y así no estudias, pero pasas) por lo que yo caí en una contradicción al decir
(p ---> q) = (¬p ---> ¬q)
El signo (=) en este caso significa: "es lógicamente equivalente"
Y bueno, todo esto es algo que podrás ver con más detalle en la materia de lógica. Donde conocerás las "tablas de verdad" y cosas por el estilo, para que aprendas a argumentar y así tener la razón en lo que digas.
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La materia de Español, al menos en la educación básica (primaria y secundaria) considero que debería servir para 2 cosas: aprender a leer y escribir. Cosa que en general no sucede.
Muchos piensan que saber leer es poder repetir con la boca, lo escrito en alguna hoja de papel, cuando en realidad saber leer significa entender lo que está escrito.
Y así me encuentro con que la mayoría de los alumnos de preparatoria no saben leer, porque alguien les da un pequeño párrafo de un texto, y no ponen atención mientras intentan leerlo. Al final, cuando lo acaban de "leer" no tienen ni la menor idea de lo que trató el párrafo.
Cuando hacen una segunda lectura, pueden repetir ciertas palabras que estaban escritas, pero son incapaces de darles coherencia. Por ejemplo el siguiente enunciado:
El método científico es un razonamiento lógico que nos exige comprobar las hipótesis para saber que éstas son válidas.
Un "estudiante" promedio de preparatoria, al preguntarle qué entendió del párrafo, diría algo como:
"nos habla sobre.... el método científico"
Y bueno, le damos una oportunidad de leerlo por segunda vez, volvemos a preguntar qué entendió del párrafo, y se establecería un diálogo similar a éste:
--¿Qué fue lo que entendiste?--
"que debe ser lógico"
--¿Pero quién?--
"El método científico"
--Dame entonces una idea completa--
"¿Cómo?"
--Que no me digas las cosas a medias--
"Bueno, pues nos habla de que el método científico debe ser lógico"
--¿Sólo eso?--
"No, y que debe de tener hipótesis"
--Debo decir que no dice ninguna de esas 2 cosas--
"Ah, entonces no sé" (actitud de niño rebelde)
--Vueve a leerlo--
"Ya está"
--Y entonces, ¿qué es lo que dice?
"Que nos exige comprobar hipótesis"
--Nuevamente me das ideas incompletas--
"Bueno ya, que el método científico nos exige comprobar hipótesis"
--¿Y para qué nos exige comprobarlas?--
"Para que sea válido"
--¿Sea valido quién?
"Pues el método científico"
--En ninguna parte dice para que el método científico sea válido--
"Entonces las hipótesis" (a éste punto sólo intenta adivinar respuestas)
Y diálogos parecidos al anterior son los que normalmente se establecen entre mis alumnos y yo (y en general en cualquier clase) cuando intento que lean cualquier pequeño texto de cualquier materia. Con lo que queda evidenciado que la mayoría no aprender a leer ni en primaria, secundaria, ni preparatoria (en muchos casos, tampoco en la unviersidad). Y eso también se manifiesta cuando los alumnos dicen "de tarea debo hacer un resumen" y después de hacer dicha tarea, el profesor se encuentra con que el alumno únicamente copió cosas al azar, sin entender lo que escribía, y en algunos casos, es una tarea incoherente, sin sentido.
Alguna vez me tocó una persona que se sintió profundamente ofendida cuando dije que los alumnos de secundaria no sabían leer, ya que creía que por tener un promedio muy alto en la secundaria, era evidencia de que ya sabía muchas cosas, y que yo "ofendía" al decir que en realidad no entendían las cosas.
Todavía recuerdo que cuando yo iba en la primaria,y en la secundaria, me repetían muy seguido que quienes no estudiaban, se las iban a ver muy difícil en el futuro. Y recordando a muchos de mis compañeros que nunca se esforzaron, me doy cuenta que tenían mucha razón, ya que veo ahora como viven, y no es nada que yo desearía.
De igual forma, a los que no estudiaron en primaria, a los que prefirieron una vida de niños consentidos en la secundaria, los veo ahora llorando porque no "se quedaron" en la escuela que deseaban, o en otros casos diciendo la frase mediocre "pues me conformo con lo que me toque, el chiste es no dejar de estudiar". O simplemente esperando que cualquier "curso de admisión" les haga un milagro, cosa que nunca va a suceder.
En el caso de éste curso, llega para muchos la decepción, porque esperaban que llegáramos a "explicarles" los temas, y que con eso sería suficiente. Pero ya hemos visto como eso es sólo un cuento, que nadie puede aprender con meras explicaciones. Y la peor decepción llega cuando les digo "sólo van a aprender en la medida en que ustedes estudien, así que mis explicaciones no valen, sólo ayudan" y es donde algunos podrían indignarse y decir "es que se supone que el es el maestro, y debe explicarnos todo, y si no lo hace es porque no realiza el trabajo que debería, y además ni nos revisa tareas... lo cual significa que no se interesa por nosotros, y como no nos revisa nuestros apuntes es un irresponsable, y total, si no me quedo en donde quiero, será por su culpa".
Finalmente, confieso que mis preocupaciones más grandes son el no pasar mis examenes de la escuela, y en dichas preocupaciones no hay cabida para pensar cuáles de los alumnos del cursito se quedan o no se quedan, si todos se quedan o ninguno. Por eso nadie debe verme como "el que me va a explicar los temas" sino que sería más conveniente que me vieran como "el que me va a ayudar cuando yo haya leído X cosa y me quede con algunas dudas".
lo
Cómo escribir comentarios en las entradas del blog.
Un pequeño tutorial para los que tienen dudas sobre cómo escribir sus comentarios cuando tengan dudas en alguno de los temas (entradas) del blog.
Cualquier duda, favor de dejarla en un comentario jajajaja.... Gracias!!
Estudio
Hola Alumnos.
Pues como ya les hemos comentado en las clases, la forma en que tienen que estudiar puede apoyarse en libros, videos, documentales, etc...
Básicamente, los libros y algunas cosas que puedan encontrar en internet tienen que ser sus fuentes principales de información (obviamente teniendo cuidado de que las páginas que visiten sean confiables o no quedándose solo con la información de una sola página, es decir limitence lo más posible de la wikipedia)
Los apoyos visuales, como fotografías, videos, documentales, pueden servir siempre y cuando ustedes ya hayan revisado algo acerca del tema y pueden ser útiles para ampliar su información.
Por ejemplo:
La clase pasada revisaron en Historia, la Edad Moderna, sus principales características, los hechos mas importantes, etcétera.
Al revisar en internet, podemos apoyarnos de algunas cosas como el siguiente video:
Espero que les sirva, y recuerden que es solo un ejemplo de lo mucho que pueden hacer para mejorar su estudio. =)
Pues como ya les hemos comentado en las clases, la forma en que tienen que estudiar puede apoyarse en libros, videos, documentales, etc...
Básicamente, los libros y algunas cosas que puedan encontrar en internet tienen que ser sus fuentes principales de información (obviamente teniendo cuidado de que las páginas que visiten sean confiables o no quedándose solo con la información de una sola página, es decir limitence lo más posible de la wikipedia)
Los apoyos visuales, como fotografías, videos, documentales, pueden servir siempre y cuando ustedes ya hayan revisado algo acerca del tema y pueden ser útiles para ampliar su información.
Por ejemplo:
La clase pasada revisaron en Historia, la Edad Moderna, sus principales características, los hechos mas importantes, etcétera.
Al revisar en internet, podemos apoyarnos de algunas cosas como el siguiente video:
Espero que les sirva, y recuerden que es solo un ejemplo de lo mucho que pueden hacer para mejorar su estudio. =)
Factorización.
Ahora ya tienes práctica suficiente para identificar, rápida y mentalmente las siguientes igualdades:
(x+2)² = x² + 4x + 4
(y+1)² = y² + 2y + 1
(x+3)(x-3) = x² - 9
(x-5y)(x+5y) = x² - 25y²
(2x+2)³ = 8x³ + 24x² + 24x + 8 (Compruébalo!!)
Pues bien, ahora haremos algo mucho más simple.
Sabemos que al desarrollar el binomio (x+2)² obtenemos:
(x+2)² = x² + 4x + 4
Pero si tuviéramos x² + 4x + 4 no sería acaso lo mismo que (x+2)² ??
Entonces diríamos que x² + 4x + 4 = (x+2)²
A éste proceso, le llamamos factorización.
Ejemplo.
Factorizar el siguiente trinomio:
y² + 2y + 1
Solución:
y² + 2y + 1 = (y+1)²
Recordemos que un número (o un paréntesis) al cuadrado, es una multiplicación, del número por sí mismo.
-------------------------------------------------------------------------
En clase dijimos que:
Factorizar es crear factores, es decir, una suma convertirla en multiplicación. Por ejemplo, en aritmética, la suma 6+12 la podemos transformar (por la propiedad distributiva) en: 3 (2 + 4) que viene a ser exactamente lo mismo. Y escribimos
Ejemplo:
Factorizar 6 + 12
Solución
6 + 12 = 3 (2 + 4)
Convertimos una suma en una multiplicación, así que hemos factorizado.
--------------------------------------------------------------------
Si tenemos el binomio (x+4)², lo podemos desarrollar así:
(x+4)² = x² + 8x + 16
Pero si tuviéramos sólo la expresión x² + 8x + 16, podríamos factorizarla, para ésto veamos el siguiente...
Ejemplo.
Factorizar x² + 8x + 16
Solución:
x² + 8x + 16 = (x+4)²
No hemos aplicado ningún razonamiento complicado, simplemente es algo que ya sabíamos.
----------------------------------------------------------------------
Ahora si tenemos la multiplicación (x+3)(x+5)
Al multiplicar, obtenemos
(x+3)(x+5) = x² + 8x + 15 (si aún no lo haces mentalmente, hazlo en tu cuaderno, te servirá).
De esa multiplicación, podemos factorizar. Y nos queda
x² + 8x + 15 = (x+3)(x+5)
Es decir, nos regresa a la multiplicación original (convertimos la suma en multiplicación).
Te doy un truco para hacer éste tipo de factorización, que es muy conocido en la secundaria. Y bueno, si alguien nos pide factorizar
x² + 8x + 15
Recordamos que basta con buscar 2 números, tal que si los sumamos nos dé 8, y si los multiplicamos nos dé 15.
---------------------------------------------------------------
Este último enunciado, por si alguien quiere practicar el lenguaje simbólico, se escribe:
A = { (x,y) : (x+y=8) Λ (xy=15) }
Y se lee, el conjunto A formado por: Todas las parejas de números (x,y) tales que al sumar la pareja de números, nos de 8, y al multiplicarlos, nos dé 15.
Y ese conjunto A sólo tendrá 2 elementos que cumplen la condición. Osea, la pareja (5,3) y (3,5) que pal caso viene a ser lo mismo.
-----------------------------------------------------------------------------
Volviendo al problema, ya sabemos entonces que los 2 números que cumplen la condición, son el 3 y el 5 (en cualquier orden).
Entonces nuestros factores serán (x+3) y (x+5). Ya que al multiplicarlos, tenemos: (x+3)(x+5) = x² + 8x + 15
Y así queda factorizado. Todo esto lo resumimos así:
Ejemplo:
Factorizar x² + 8x + 15
Solución:
Buscamos 2 números que al sumarlos dé 8, y al multiplicarlos nos dé 15.
Después de pensar un poco, nos damos cuenta de que esos números son el 5 y el 3.
Así que ya podemos factorizar, quedando finalmente:
x² + 8x + 15 = (x+3)(x+5)
Ahora veamos otros ejemplos.
Ejemplo:
Factorizar x² + 11x + 28
Solución:
Pensando en 2 números que al sumarlos dé 11, y al multiplicarlos dé 28, tenemos que esos números son el 7 y el 4. Así que factorizando, tenemos:
x² + 11x + 28 = (x+7)(x+4)
Ejemplo:
Factorizar x² - 3x - 40
Esto es lo mismo que x² + (-3x) + (-40)
Así que necesitamos 2 números que al sumarlos dé (-3) y al multiplicarlos dé (-40)
Los números son 5 y (-8)
Entonces tenemos finalmente:
x² - 3x - 40 = (x+5) (x-8)
De este último ejemplo vamos a comprobar que no me equivoqué, así que si yo multiplico (x+5) (x-8) obtengo:
(x+5) (x-8) = x² -8x +5x - 40
Simplificando
(x+5) (x-8) = x² - 3x - 40
Entonces veo que no me equivoqué al factorizar.
No dejaré aquí la tarea por obvias razones. Entonces la tarea de este tema la daré personalmente a quien lo pida (entregando las tareas de los otros temas).
(x+2)² = x² + 4x + 4
(y+1)² = y² + 2y + 1
(x+3)(x-3) = x² - 9
(x-5y)(x+5y) = x² - 25y²
(2x+2)³ = 8x³ + 24x² + 24x + 8 (Compruébalo!!)
Pues bien, ahora haremos algo mucho más simple.
Sabemos que al desarrollar el binomio (x+2)² obtenemos:
(x+2)² = x² + 4x + 4
Pero si tuviéramos x² + 4x + 4 no sería acaso lo mismo que (x+2)² ??
Entonces diríamos que x² + 4x + 4 = (x+2)²
A éste proceso, le llamamos factorización.
Ejemplo.
Factorizar el siguiente trinomio:
y² + 2y + 1
Solución:
y² + 2y + 1 = (y+1)²
Recordemos que un número (o un paréntesis) al cuadrado, es una multiplicación, del número por sí mismo.
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En clase dijimos que:
Factorizar es crear factores, es decir, una suma convertirla en multiplicación. Por ejemplo, en aritmética, la suma 6+12 la podemos transformar (por la propiedad distributiva) en: 3 (2 + 4) que viene a ser exactamente lo mismo. Y escribimos
Ejemplo:
Factorizar 6 + 12
Solución
6 + 12 = 3 (2 + 4)
Convertimos una suma en una multiplicación, así que hemos factorizado.
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Si tenemos el binomio (x+4)², lo podemos desarrollar así:
(x+4)² = x² + 8x + 16
Pero si tuviéramos sólo la expresión x² + 8x + 16, podríamos factorizarla, para ésto veamos el siguiente...
Ejemplo.
Factorizar x² + 8x + 16
Solución:
x² + 8x + 16 = (x+4)²
No hemos aplicado ningún razonamiento complicado, simplemente es algo que ya sabíamos.
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Ahora si tenemos la multiplicación (x+3)(x+5)
Al multiplicar, obtenemos
(x+3)(x+5) = x² + 8x + 15 (si aún no lo haces mentalmente, hazlo en tu cuaderno, te servirá).
De esa multiplicación, podemos factorizar. Y nos queda
x² + 8x + 15 = (x+3)(x+5)
Es decir, nos regresa a la multiplicación original (convertimos la suma en multiplicación).
Te doy un truco para hacer éste tipo de factorización, que es muy conocido en la secundaria. Y bueno, si alguien nos pide factorizar
x² + 8x + 15
Recordamos que basta con buscar 2 números, tal que si los sumamos nos dé 8, y si los multiplicamos nos dé 15.
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Este último enunciado, por si alguien quiere practicar el lenguaje simbólico, se escribe:
A = { (x,y) : (x+y=8) Λ (xy=15) }
Y se lee, el conjunto A formado por: Todas las parejas de números (x,y) tales que al sumar la pareja de números, nos de 8, y al multiplicarlos, nos dé 15.
Y ese conjunto A sólo tendrá 2 elementos que cumplen la condición. Osea, la pareja (5,3) y (3,5) que pal caso viene a ser lo mismo.
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Volviendo al problema, ya sabemos entonces que los 2 números que cumplen la condición, son el 3 y el 5 (en cualquier orden).
Entonces nuestros factores serán (x+3) y (x+5). Ya que al multiplicarlos, tenemos: (x+3)(x+5) = x² + 8x + 15
Y así queda factorizado. Todo esto lo resumimos así:
Ejemplo:
Factorizar x² + 8x + 15
Solución:
Buscamos 2 números que al sumarlos dé 8, y al multiplicarlos nos dé 15.
Después de pensar un poco, nos damos cuenta de que esos números son el 5 y el 3.
Así que ya podemos factorizar, quedando finalmente:
x² + 8x + 15 = (x+3)(x+5)
Ahora veamos otros ejemplos.
Ejemplo:
Factorizar x² + 11x + 28
Solución:
Pensando en 2 números que al sumarlos dé 11, y al multiplicarlos dé 28, tenemos que esos números son el 7 y el 4. Así que factorizando, tenemos:
x² + 11x + 28 = (x+7)(x+4)
Ejemplo:
Factorizar x² - 3x - 40
Esto es lo mismo que x² + (-3x) + (-40)
Así que necesitamos 2 números que al sumarlos dé (-3) y al multiplicarlos dé (-40)
Los números son 5 y (-8)
Entonces tenemos finalmente:
x² - 3x - 40 = (x+5) (x-8)
De este último ejemplo vamos a comprobar que no me equivoqué, así que si yo multiplico (x+5) (x-8) obtengo:
(x+5) (x-8) = x² -8x +5x - 40
Simplificando
(x+5) (x-8) = x² - 3x - 40
Entonces veo que no me equivoqué al factorizar.
No dejaré aquí la tarea por obvias razones. Entonces la tarea de este tema la daré personalmente a quien lo pida (entregando las tareas de los otros temas).
Productos notables (introducción)
Antes que nada, quiero decirles que no se desanimen. Yo sé y estoy muy consciente de que tienen miedo a muchas cosas: a no pasar el examen, a no entender los temas, a no cumplir con lo que en su casa esperan de ustedes, y muchas cosas más; aparte sé también que algunos temas son algo complicados para ustedes, y reconozco que si en mis tiempos de secundaria alguien me hubiera dado un curso así, me hubiera sido bastante difícil y hasta desesperante. Pero ahora que veo todo lo que no aprendí en mi preparatoria, se me hace una lástima que nunca nadie me haya exigido entender cosas como el lenguaje lógico, o que me hayan exigido aprender a hacer las demostraciones, saber los axiomas de campo, o cosas de ese tipo.
Pero la solución a todo eso, es que hagan esfuerzos por entender las cosas, o leer cosas nuevas. Pero si entre semana se dedican a cualquier otra cosa como lo han venido haciendo, van a seguir igual con muchas dificultades y así, créanme, no la van a hacer.
No les exigimos tareas porque ustedes deben aprender a madurar, y a no hacer las cosas sólo cuando los presionen. Deben aprender a hacer sus cosas por ustedes mismos, sin que nadie les diga que lo hagan. Y ya de hecho nunca les exigiremos tareas.
Ya les dije alguna vez (algo que hace poco me dijo una profesora), la fuerza de voluntad es puro cuento, no existe; lo que los va a llevar adelante es el interés (esta frase es desalentadora, pero cierta).
Bueno, ahora sí, pasemos al tema en cuestión.
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Sábado 5 de marzo (perdón por el error de la entrada anterior, quice decir domingo 6 de marzo) algunos vimos el método de cramer para resolver sistemas de ecuaciones.
Hasta este momento me supongo ya saben resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y sistemas de 2 ecuaciones.
Sabemos ya también realizar algunos manejos algebraicos para resolver dichas ecuaciones. Por ejemplo agrupar, reducir términos semejantes, multiplicar polinomios, etc.
Acerca de los polinomios, hagamos un pequeño repaso (además de lo visto en las clases, es un tema propiamente de secundaria, por lo cual no pueden esperar que les "enseñemos" todo esto desde el principio), entonces si hay algo que no sepan, busquen en sus libros, o en sus apuntes de secundaria (si es que tomaron apuntes).
Suma (y resta) de polinomios.
(5x+2y+4z-3x) - (2x+3y-7) = (2x+2y+4z) - (2x+3y-7)
...........................................= (2x+2y+4z) - 2x -3y +7
como ya sabemos asociar, y conmutar... = 2x-2x+2y-3y+4z+7
..............................................= 0 - y +4z + 7
..............................................= -y +4z + 7
Multiplicación de polinomios
( 5x + 3) (2x - 8 ) = (5x + 3) (2x + (-8))
............................= 10x² + (-40x) + 6x + (-24)
............................= 10x² - 40x + 6x -24 (por definición de resta)
............................= 10x² - 34x -24
En general, (a+b)(m+n) = am+an+bm+bn (la demostración se realizó en las clases como 4 veces)
La misma demostración puede aplicarse para números más grandes (pero no la haremos), entonces tendríamos
(a+b+c) (m+n+q+r) = am+an+aq+ar+bm+bn+bq+br+cm+cn+cq+cr
Ahora, intenta comprobar la siguiente multiplicación en tu cuaderno.
(2x+5y+8)(8x-10y-2) = 16x² + 20xy + 60x - 50y² - 90y - 16
------------------------------------------------------------------------------
Veamos ahora lo que en secundaria llamaban "productos notables" es decir, multiplicaciones que podemos hacer casi de memoria, sin hacer todo el desarrollo. Por ejemplo (x+2)² = x²+4x+4 que se puede realizar directamente sin hacer toda la multiplicación.
Para esto tenemos el siguiente Teorema (o proposición):
(a,b Є R) ---> (a+b)² = a² + 2ab + b²
(el primero al cuadrado, más el doble del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado)
Demostración
Supongamos a,b Є R
(a+b)² = (a+b) (a+b)....Por definición de número al cuadrado
(a+b)(a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b ...Multiplicando los binomios
a·a + a·b + b·a + b·b = a² + a·b + a·b + b²
a² + a·b + a·b + b² = a²+2ab + b²
.·. (a+b)² = a²+2ab + b²
En matemáticas los 3 puntitos (.·.) significan "por lo tanto".
Ahora sí ya sabes por qué la ecuación (x+2)² = x²+4x+4 es verdadera, y sabes también por qué un binomio al cuadrado puede desarrollarse directamente.
Ejemplo
Desarrollar el siguiente binomio al cuadrado:
(x+5)²
Tenemos pues, por el teorema que acabamos de demostrar, que no es necesario realizar toda la multiplicación (x+5)(x+5) sino que basta simplemente con elevar el primero al cuadrado (x²) luego sumarle el doble del primero por el segundo (2)(x)(5) que es igual a (2)(5)(x), o también 10x. Y finalmente sumarle el segundo al cuadrado (5²) que es igual que 25.
Entonces todo éste párrafo nos dice:
(x+5)² = x² + (2)(x)(5) + 5²
...........= x² +10x + 25
Tomemos otros ejemplos
Desarrollar el siguiente binomio
(y+3)²
Solución:
(y+3)² = y²+(2)(y)(3)+3² = y²+6y+9
Desarrollar (4x+5y)²
Solución:
(4x+5y)² = (4x)² + (2)(4x)(5y) + (5y)²
...............= 16x² + 40xy + 25y²
Y a continuación unos ejercicios de tarea para que practiquen:
EJERCICIOS
Desarrollar mentalmente los siguientes binomios al cuadrado
(x+4)²
(2y+5k)²
(2y+1)²
(2xy+1)²
(3xw+5xy)²
Desarrollar el siguiente binomio
(x-y)² Sugerencia: toma en cuenta que x-y = x+(-y)
Demostrar que (x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Este último producto notable es conocido como "binomio al cubo"
Demostrar que (x+y)(x-y) = x² - y²
Este último producto notable es conocido como "diferencia de cuadrados" (diferencia por ser una resta).
Utilizando lo aprendido de esta última demostración, realiza las siguientes multiplicaciones mentalmente
(x+2)(x-2)
(3x+3)(3x-3)
(2x+5y)(2x-5y)
(5ab + 2qr)(5ab - 2qr)
Pero la solución a todo eso, es que hagan esfuerzos por entender las cosas, o leer cosas nuevas. Pero si entre semana se dedican a cualquier otra cosa como lo han venido haciendo, van a seguir igual con muchas dificultades y así, créanme, no la van a hacer.
No les exigimos tareas porque ustedes deben aprender a madurar, y a no hacer las cosas sólo cuando los presionen. Deben aprender a hacer sus cosas por ustedes mismos, sin que nadie les diga que lo hagan. Y ya de hecho nunca les exigiremos tareas.
Ya les dije alguna vez (algo que hace poco me dijo una profesora), la fuerza de voluntad es puro cuento, no existe; lo que los va a llevar adelante es el interés (esta frase es desalentadora, pero cierta).
Bueno, ahora sí, pasemos al tema en cuestión.
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Sábado 5 de marzo (perdón por el error de la entrada anterior, quice decir domingo 6 de marzo) algunos vimos el método de cramer para resolver sistemas de ecuaciones.
Hasta este momento me supongo ya saben resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y sistemas de 2 ecuaciones.
Sabemos ya también realizar algunos manejos algebraicos para resolver dichas ecuaciones. Por ejemplo agrupar, reducir términos semejantes, multiplicar polinomios, etc.
Acerca de los polinomios, hagamos un pequeño repaso (además de lo visto en las clases, es un tema propiamente de secundaria, por lo cual no pueden esperar que les "enseñemos" todo esto desde el principio), entonces si hay algo que no sepan, busquen en sus libros, o en sus apuntes de secundaria (si es que tomaron apuntes).
Suma (y resta) de polinomios.
(5x+2y+4z-3x) - (2x+3y-7) = (2x+2y+4z) - (2x+3y-7)
...........................................= (2x+2y+4z) - 2x -3y +7
como ya sabemos asociar, y conmutar... = 2x-2x+2y-3y+4z+7
..............................................= 0 - y +4z + 7
..............................................= -y +4z + 7
Multiplicación de polinomios
( 5x + 3) (2x - 8 ) = (5x + 3) (2x + (-8))
............................= 10x² + (-40x) + 6x + (-24)
............................= 10x² - 40x + 6x -24 (por definición de resta)
............................= 10x² - 34x -24
En general, (a+b)(m+n) = am+an+bm+bn (la demostración se realizó en las clases como 4 veces)
La misma demostración puede aplicarse para números más grandes (pero no la haremos), entonces tendríamos
(a+b+c) (m+n+q+r) = am+an+aq+ar+bm+bn+bq+br+cm+cn+cq+cr
Ahora, intenta comprobar la siguiente multiplicación en tu cuaderno.
(2x+5y+8)(8x-10y-2) = 16x² + 20xy + 60x - 50y² - 90y - 16
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Veamos ahora lo que en secundaria llamaban "productos notables" es decir, multiplicaciones que podemos hacer casi de memoria, sin hacer todo el desarrollo. Por ejemplo (x+2)² = x²+4x+4 que se puede realizar directamente sin hacer toda la multiplicación.
Para esto tenemos el siguiente Teorema (o proposición):
(a,b Є R) ---> (a+b)² = a² + 2ab + b²
(el primero al cuadrado, más el doble del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado)
Demostración
Supongamos a,b Є R
(a+b)² = (a+b) (a+b)....Por definición de número al cuadrado
(a+b)(a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b ...Multiplicando los binomios
a·a + a·b + b·a + b·b = a² + a·b + a·b + b²
a² + a·b + a·b + b² = a²+2ab + b²
.·. (a+b)² = a²+2ab + b²
En matemáticas los 3 puntitos (.·.) significan "por lo tanto".
Ahora sí ya sabes por qué la ecuación (x+2)² = x²+4x+4 es verdadera, y sabes también por qué un binomio al cuadrado puede desarrollarse directamente.
Ejemplo
Desarrollar el siguiente binomio al cuadrado:
(x+5)²
Tenemos pues, por el teorema que acabamos de demostrar, que no es necesario realizar toda la multiplicación (x+5)(x+5) sino que basta simplemente con elevar el primero al cuadrado (x²) luego sumarle el doble del primero por el segundo (2)(x)(5) que es igual a (2)(5)(x), o también 10x. Y finalmente sumarle el segundo al cuadrado (5²) que es igual que 25.
Entonces todo éste párrafo nos dice:
(x+5)² = x² + (2)(x)(5) + 5²
...........= x² +10x + 25
Tomemos otros ejemplos
Desarrollar el siguiente binomio
(y+3)²
Solución:
(y+3)² = y²+(2)(y)(3)+3² = y²+6y+9
Desarrollar (4x+5y)²
Solución:
(4x+5y)² = (4x)² + (2)(4x)(5y) + (5y)²
...............= 16x² + 40xy + 25y²
Y a continuación unos ejercicios de tarea para que practiquen:
EJERCICIOS
Desarrollar mentalmente los siguientes binomios al cuadrado
(x+4)²
(2y+5k)²
(2y+1)²
(2xy+1)²
(3xw+5xy)²
Desarrollar el siguiente binomio
(x-y)² Sugerencia: toma en cuenta que x-y = x+(-y)
Demostrar que (x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Este último producto notable es conocido como "binomio al cubo"
Demostrar que (x+y)(x-y) = x² - y²
Este último producto notable es conocido como "diferencia de cuadrados" (diferencia por ser una resta).
Utilizando lo aprendido de esta última demostración, realiza las siguientes multiplicaciones mentalmente
(x+2)(x-2)
(3x+3)(3x-3)
(2x+5y)(2x-5y)
(5ab + 2qr)(5ab - 2qr)
Algo más sobre fracciones
Para el domingo 5 de marzo, leerán todo lo que puedan sobre la Edad Contemporánea para Historia. Unas 3 horas de lectura será suficiente aproximadamente.
-----------------------------------------------------------------
Consideremos a' como el inverso multiplicativo de a. Es decir:
a'·a = 1
Debo advertir que si aún no sabes resolver fracciones simples a la perfección, ya sabes que hacer; porque de lo contrario será muy difícil que entiendas la siguiente explicación.
Ahora supongamos la igualdad 20·5' = 4
Esto es, 20 por el inverso multiplicativo de 5, da como "resultado" 4.
O como nosotros lo conocemos, 20/5 = 4 (20 entre 5 igual a 4)
Como otros ejemplos:
30·6' = 5
42·7' = 6
7·5' = 7/5
11·x' = 11/x
14/5 = 14·5'
Todo esto significa que a·b' lo podemos escribir a modo de fracción (o de división) a pesar de que sabemos que en el campo de números reales no existe la división. Entonces nos queda a/b (a sobre b).
Sucede algo similar que con la resta, recordemos que a+(-b) = a-b Y así es como definimos la resta (no existe la operación resta en R, pero es una forma de abreviar)
Igual con la división, podemos decir que m·n' = m/n
Ahora, vamos a considerar una división:
2x+3
------
5
Pero por comodidad, esta misma división la escribiremos (aquí en el blog) como (2x+3)/5
Ahora esta misma división (por lo que acabamos de ver) la podemos escribir como (2x+3)·5' (revisar por qué).
En general, podemos decir que (a+b)/k = (a+b)·k'
De ésta última ecuación, podemos aplicar la propiedad distributiva, y nos quedaría
a·k' + b·k' = a/k + b/k (escrito en forma de fracción, como en los primeros ejemplos).
Para ésto, podemos enunciar una proposición (que por cierto se me acaba de ocurrir...), y esta es:
Proposición:
Si a,b,c son números reales, entonces (a+b)/c = a/c + b/c
Demostración:
Consideremos a,b y c como números reales.
(a+b)/c = (a+b)·c'.....Por la definición de división
(a+b)/c = c'·(a+b)......Propiedad conmutativa
(a+b)/c = c'a + c'b.....Propiedad distributiva
(a+b)/c = ac' + bc'.....Otra vez la conmutativa
(a+b)/c = a/c + b/c....Definición de división
Y listo!!
Ahora, hagamos esta misma demostración, en lenguaje lógico-simbólico, esperando que ya tengas práctica suficiente para entenderlo. Entonces queda:
-------------------------------------------------------------------
Proposición
(a,b,c Є R) ---> [ (a+b)/c = a/c + b/c ]
Demostración:
Sean a,b,c Є R
(a,b,c Є R) ---> (a+b)/c = (a+b)·c' ---> (a+b)/c = c'·(a+b) --->
(a+b)/c = c'a + c'b ---> (a+b)/c = ac' + bc' ---> (a+b)/c = a/c + b/c
Y queda demostrado.
-------------------------------------------------------------------
Nos damos cuenta que en ésto que hicimos (llamado demostración directa) se emplea un esquema tipo:
Si p, entonces q. Si q, entonces r. Si r, entonces s. Si s, entonces t.....
O en símbolos
p-->q, q--->r, r--->s, s--->t......
O más abreviado
p --->q ---> r ---> s ---> t......
Bueno, no me meteré tanto en lógica por ahora. De hecho los conocimientos de lógica se utilizan para aprender a hacer demostraciones, podríamos decir que para eso sirve la materia de lógica en 1er semestre de la preparatoria: para aprender a demostrar.
Entonces, la demostración anterior podría extenderse a muchos números más, quedando por ejemplo:
(ax+by+c-5x)/x = ax/x + by/x + c/x - 5x/x
..........................= a·1 + by/x + c/x - 5·1
..........................= a + by/x + c/x - 5
Como un segundo ejemplo:
(4x³ + 6x² -8x + 10)/2x = 4x³/2x + 6x²/2x - 8x/2x + 10/2x
(quienes ya saben simplificarlo)= 2x² + 3x - 4 + 5/x
Te sugiero que todo esto lo vayas escribiendo en tu cuaderno, ya que tratar de estudiarlo con una "escritura de blog" será un poco difícil. Y es que no es lo mismo ver 5/3 que ver 5 tercios a modo de fracción.
Bueno, entonces, la demostración con muchos números no la haremos por ser algo un poco más complicado, pero basta con "intuír" que
(a+b+c+d+e+f+...n)/k = a/k + b/k + c/k + d/k + ... + n/k
Donde n es el último número adentro del paréntesis.
No pretendas entender todo esto en un rato, digamos media hora, sino que requiere su tiempo, tal vez lees una parte en media hora, luego descansas... luego otra media hora para leer otra parte... descansas... y luego la última parte en otra media hora. Después puedes intentar a hacer tu propia demostración para que vayas aprendiendo.
Buen día a todos.
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Consideremos a' como el inverso multiplicativo de a. Es decir:
a'·a = 1
Debo advertir que si aún no sabes resolver fracciones simples a la perfección, ya sabes que hacer; porque de lo contrario será muy difícil que entiendas la siguiente explicación.
Ahora supongamos la igualdad 20·5' = 4
Esto es, 20 por el inverso multiplicativo de 5, da como "resultado" 4.
O como nosotros lo conocemos, 20/5 = 4 (20 entre 5 igual a 4)
Como otros ejemplos:
30·6' = 5
42·7' = 6
7·5' = 7/5
11·x' = 11/x
14/5 = 14·5'
Todo esto significa que a·b' lo podemos escribir a modo de fracción (o de división) a pesar de que sabemos que en el campo de números reales no existe la división. Entonces nos queda a/b (a sobre b).
Sucede algo similar que con la resta, recordemos que a+(-b) = a-b Y así es como definimos la resta (no existe la operación resta en R, pero es una forma de abreviar)
Igual con la división, podemos decir que m·n' = m/n
Ahora, vamos a considerar una división:
2x+3
------
5
Pero por comodidad, esta misma división la escribiremos (aquí en el blog) como (2x+3)/5
Ahora esta misma división (por lo que acabamos de ver) la podemos escribir como (2x+3)·5' (revisar por qué).
En general, podemos decir que (a+b)/k = (a+b)·k'
De ésta última ecuación, podemos aplicar la propiedad distributiva, y nos quedaría
a·k' + b·k' = a/k + b/k (escrito en forma de fracción, como en los primeros ejemplos).
Para ésto, podemos enunciar una proposición (que por cierto se me acaba de ocurrir...), y esta es:
Proposición:
Si a,b,c son números reales, entonces (a+b)/c = a/c + b/c
Demostración:
Consideremos a,b y c como números reales.
(a+b)/c = (a+b)·c'.....Por la definición de división
(a+b)/c = c'·(a+b)......Propiedad conmutativa
(a+b)/c = c'a + c'b.....Propiedad distributiva
(a+b)/c = ac' + bc'.....Otra vez la conmutativa
(a+b)/c = a/c + b/c....Definición de división
Y listo!!
Ahora, hagamos esta misma demostración, en lenguaje lógico-simbólico, esperando que ya tengas práctica suficiente para entenderlo. Entonces queda:
-------------------------------------------------------------------
Proposición
(a,b,c Є R) ---> [ (a+b)/c = a/c + b/c ]
Demostración:
Sean a,b,c Є R
(a,b,c Є R) ---> (a+b)/c = (a+b)·c' ---> (a+b)/c = c'·(a+b) --->
(a+b)/c = c'a + c'b ---> (a+b)/c = ac' + bc' ---> (a+b)/c = a/c + b/c
Y queda demostrado.
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Nos damos cuenta que en ésto que hicimos (llamado demostración directa) se emplea un esquema tipo:
Si p, entonces q. Si q, entonces r. Si r, entonces s. Si s, entonces t.....
O en símbolos
p-->q, q--->r, r--->s, s--->t......
O más abreviado
p --->q ---> r ---> s ---> t......
Bueno, no me meteré tanto en lógica por ahora. De hecho los conocimientos de lógica se utilizan para aprender a hacer demostraciones, podríamos decir que para eso sirve la materia de lógica en 1er semestre de la preparatoria: para aprender a demostrar.
Entonces, la demostración anterior podría extenderse a muchos números más, quedando por ejemplo:
(ax+by+c-5x)/x = ax/x + by/x + c/x - 5x/x
..........................= a·1 + by/x + c/x - 5·1
..........................= a + by/x + c/x - 5
Como un segundo ejemplo:
(4x³ + 6x² -8x + 10)/2x = 4x³/2x + 6x²/2x - 8x/2x + 10/2x
(quienes ya saben simplificarlo)= 2x² + 3x - 4 + 5/x
Te sugiero que todo esto lo vayas escribiendo en tu cuaderno, ya que tratar de estudiarlo con una "escritura de blog" será un poco difícil. Y es que no es lo mismo ver 5/3 que ver 5 tercios a modo de fracción.
Bueno, entonces, la demostración con muchos números no la haremos por ser algo un poco más complicado, pero basta con "intuír" que
(a+b+c+d+e+f+...n)/k = a/k + b/k + c/k + d/k + ... + n/k
Donde n es el último número adentro del paréntesis.
No pretendas entender todo esto en un rato, digamos media hora, sino que requiere su tiempo, tal vez lees una parte en media hora, luego descansas... luego otra media hora para leer otra parte... descansas... y luego la última parte en otra media hora. Después puedes intentar a hacer tu propia demostración para que vayas aprendiendo.
Buen día a todos.
Teorema.- Si a=b y m=n... entonces a+m=b+n
Esta es una demostración que deben conocer muy bien, y que viene de hecho en la página 116 del libro, pero viene de una forma distinta a como lo explicaré. Al estudiar y comparar las 2 formas de demostrarlo (la mía y la del libro) seguramente les quedará mucho más claro.
Antes de eso, daré algun repaso y un ejemplo.
Sabemos ya, que como (=) es relación de equivalencia, con 2 propiedades "extra", podemos aplicar una que hemos llamado Propiedad aditiva (de uniformidad para suma). Y esto nos permite que si por ejemplo tenemos la igualdad (ecuación):
-6x+5 = 15
Podemos sumar cualquier número real, a ambos lados de la igualdad, sumemos por ejemplo el inverso aditivo de 5:
-6x+5+(-5) = 15+(-5)
Y de aquí tenemos una ecuación, la cual podemos dejar así (en matemáticas, generalmente no existe eso de "resultados") o podemos simplificar más usando algunos de los axiomas que ya conocemos, por lo que nos quedaría
-6x + 0 = 10
Y este ya es un "resultado", pero podemos seguir simplificando, lo que nos quedaría
-6x = 10 ...... (recuerda qué axioma utilizamos)
Y si así seguimos, hasta resolver la ecuación para -6, obtenemos
-6 = 10/x ...... (10 entre X)
Es una opción, pero también podemos resolver la ecuación para X (recuerda lo que les dije en clase acerca de resolver una ecuación, que debemos de especificar para qué número vamos a resolverla) Entonces, resolviendo para el número X, nos queda:
x= 10/-6
Simplificando
x=-(5/3).....(menos cinco tercios)
Pero ahora, en nuestra tierna infancia aprendimos que podíamos hacer (sin saber por qué) algo como que:
Si tenemos que 2x+5y = -8 y además que -2x+4y = -10
(es un sistema de ecuaciones)
entonces podemos sumar los lados izquierdos de las ecuaciones, y eso será igual a sumar los lados derechos. (algo como si a=b y c=d, entonces a+c=b+d) Y queda así como sigue:
(2x+5y)+(-2x+4y) = (-8)+(-10)
Conmutando y asociando, los reacomodamos como:
2x-2x + 5y+4y = (-8)+(-10)
0 + 9y = -18
9y = -18
Que si te das cuenta, es el método de suma y resta que ya conocías, exactamente lo mismo. Que de hecho tú lo escribes como
2x+5y = -8
-2x+4y=-10
-----------------
0 + 9y = -18 ---------> 9y=-18
(de todas formas sumas los lados izquierdos, y luego los lados derechos).
En general, lo que hemos hecho es que si tenemos 2 ecuaciones a=b y m=n, entonces también podemos sumar estas ecuaciones, así:
a+m = b+n
osea, sumar lados izquierdos, y luego lados derechos, como en el ejemplo anterior.
Ahora sí, a lo que trata todo ésto, es decir, la demostración del teorema. O dicho de otro modo, al por qué podemos sumar lados izquierdos, y luego lados derechos, usando la lógica y no el falso argumento de que "pues es que así me lo enseñaron en la secundaria".
Primero, escribo la demostración en lenguaje lógico-simbólico (esperando que ya hayas estudiado las primeras 2 unidades del libro) y luego hago una pequeña explicación "en español". Entonces tenemos.....
Proposición:
Sean a,b,m,n Є R
(a=b Λ m=n) ---> a+m = b+n
Demostración:
1.- (a=b ---> a+m=b+m) Λ (m=n ---> b+m = b+n).....Por la propiedad aditiva
2.- [ (a+m = b+m) Λ (b+m = b+n) ] ---> (a+m = b+n).....Por la propiedad transitiva.
Y queda demostrado.
Ahora, te sugiero que intentes entender a la perfección esto que acabo de escribir sin leer lo que sigue.
Si aún no lo puedes entender, o en algunas partes te confundes, hago la demostración "con palabras".
Proposición. Sean a,b,m,n números reales.
Si a=b y m=n, entonces a+m = b+n
Demostración
Supongamos que a=b (osea, supongamos que tenemos 2 números iguales) y además m=n (otros 2 números iguales)
Algo que tenemos seguro, es que a=b implica que a+m=b+m (por la propiedad aditiva). O escrito en símbolos
a=b ---> a+m = b+m
Y otra cosa que tenemos segura debido a las propiedades de la igualdad (=), es que m=n implica que m+b = n+b (o lo que es lo mismo, b+m = b+n) En símbolos:
m=n ---> b+m = b+n
Si te das cuenta hasta aquí ya tenemos la primera parte de la demostración, que en la que escribí con puro símbolo, era la siguiente:
1.- (a=b ---> a+m=b+m) Λ (m=n ---> b+m = b+n).....Por la propiedad aditiva
Ahora, esas 2 cosas las tenemos seguras desde el principio (porque son propiedades de la igualdad), y sin meterme tanto en lógica, podemos de ahí concluir que (a+m = b+m) y que (b+m = b+n) son 2 cosas ciertas (no son propiedades de la igualdad, pero lo hemos "concluído" a partir de las propiedades).
Escrito en símbolos
a+m = b+m y b+m = b+n
Pero como (=) es una relación de equivalencia, cumple la propiedad transitiva ya bien conocida para ti, entonces podemos concluir que
a+m = b+n
Esto es la segunda parte de la demostración, la que dice que:
2.- [ (a+m = b+m) Λ (b+m = b+n) ] ---> (a+m = b+n).....Por la propiedad transitiva.
Y con eso termina la demostración.
Ahora ya puedes volver a la primera demostración y tratar de entenderla a la perfección para después hacerla por tu cuenta, sin ayuda de nadie.
Como habrás notado y ya hemos mencionado, esa propiedad es la que se utiliza en el método de suma y resta para sistemas de ecuaciones.
En otra entrada del blog usaré este ejemplo para que empieces a "adentrarte" en los conocimientos básicos de la lógica matemática. Que como sabrás, es una materia que se lleva en primer semestre de la preparatoria, y en donde muchos se confunden por la complejidad de la materia. Para eso te recomiendo que estudies ya la unidad 2 del libro, que precisamente se llama "elementos de lógica matemática". Mi intención será entonces que esa materia no se convierta en un tormento porque no entiendes absolutamente nada, sino que sea una materia interesante en donde seas consciente de que estarás aprendiendo a hacer demostraciones (argumentar cosas).
Por cierto que si sólo tomas estas clases para pasar un examen, quizá entres a la preparatoria que quieres, pero será muy difícil que pases el primer año, y lo más probable es que dejes la escuela porque te desesperó no pasar las materias (además de que te aburrían porque nunca entendías nada). Así que mejor toma estas clases para evitar todo eso, más que para sólo pasar el examen de admisión.
Suerte, bonito día a todos.
Antes de eso, daré algun repaso y un ejemplo.
Sabemos ya, que como (=) es relación de equivalencia, con 2 propiedades "extra", podemos aplicar una que hemos llamado Propiedad aditiva (de uniformidad para suma). Y esto nos permite que si por ejemplo tenemos la igualdad (ecuación):
-6x+5 = 15
Podemos sumar cualquier número real, a ambos lados de la igualdad, sumemos por ejemplo el inverso aditivo de 5:
-6x+5+(-5) = 15+(-5)
Y de aquí tenemos una ecuación, la cual podemos dejar así (en matemáticas, generalmente no existe eso de "resultados") o podemos simplificar más usando algunos de los axiomas que ya conocemos, por lo que nos quedaría
-6x + 0 = 10
Y este ya es un "resultado", pero podemos seguir simplificando, lo que nos quedaría
-6x = 10 ...... (recuerda qué axioma utilizamos)
Y si así seguimos, hasta resolver la ecuación para -6, obtenemos
-6 = 10/x ...... (10 entre X)
Es una opción, pero también podemos resolver la ecuación para X (recuerda lo que les dije en clase acerca de resolver una ecuación, que debemos de especificar para qué número vamos a resolverla) Entonces, resolviendo para el número X, nos queda:
x= 10/-6
Simplificando
x=-(5/3).....(menos cinco tercios)
Pero ahora, en nuestra tierna infancia aprendimos que podíamos hacer (sin saber por qué) algo como que:
Si tenemos que 2x+5y = -8 y además que -2x+4y = -10
(es un sistema de ecuaciones)
entonces podemos sumar los lados izquierdos de las ecuaciones, y eso será igual a sumar los lados derechos. (algo como si a=b y c=d, entonces a+c=b+d) Y queda así como sigue:
(2x+5y)+(-2x+4y) = (-8)+(-10)
Conmutando y asociando, los reacomodamos como:
2x-2x + 5y+4y = (-8)+(-10)
0 + 9y = -18
9y = -18
Que si te das cuenta, es el método de suma y resta que ya conocías, exactamente lo mismo. Que de hecho tú lo escribes como
2x+5y = -8
-2x+4y=-10
-----------------
0 + 9y = -18 ---------> 9y=-18
(de todas formas sumas los lados izquierdos, y luego los lados derechos).
En general, lo que hemos hecho es que si tenemos 2 ecuaciones a=b y m=n, entonces también podemos sumar estas ecuaciones, así:
a+m = b+n
osea, sumar lados izquierdos, y luego lados derechos, como en el ejemplo anterior.
Ahora sí, a lo que trata todo ésto, es decir, la demostración del teorema. O dicho de otro modo, al por qué podemos sumar lados izquierdos, y luego lados derechos, usando la lógica y no el falso argumento de que "pues es que así me lo enseñaron en la secundaria".
Primero, escribo la demostración en lenguaje lógico-simbólico (esperando que ya hayas estudiado las primeras 2 unidades del libro) y luego hago una pequeña explicación "en español". Entonces tenemos.....
Proposición:
Sean a,b,m,n Є R
(a=b Λ m=n) ---> a+m = b+n
Demostración:
1.- (a=b ---> a+m=b+m) Λ (m=n ---> b+m = b+n).....Por la propiedad aditiva
2.- [ (a+m = b+m) Λ (b+m = b+n) ] ---> (a+m = b+n).....Por la propiedad transitiva.
Y queda demostrado.
Ahora, te sugiero que intentes entender a la perfección esto que acabo de escribir sin leer lo que sigue.
Si aún no lo puedes entender, o en algunas partes te confundes, hago la demostración "con palabras".
Proposición. Sean a,b,m,n números reales.
Si a=b y m=n, entonces a+m = b+n
Demostración
Supongamos que a=b (osea, supongamos que tenemos 2 números iguales) y además m=n (otros 2 números iguales)
Algo que tenemos seguro, es que a=b implica que a+m=b+m (por la propiedad aditiva). O escrito en símbolos
a=b ---> a+m = b+m
Y otra cosa que tenemos segura debido a las propiedades de la igualdad (=), es que m=n implica que m+b = n+b (o lo que es lo mismo, b+m = b+n) En símbolos:
m=n ---> b+m = b+n
Si te das cuenta hasta aquí ya tenemos la primera parte de la demostración, que en la que escribí con puro símbolo, era la siguiente:
1.- (a=b ---> a+m=b+m) Λ (m=n ---> b+m = b+n).....Por la propiedad aditiva
Ahora, esas 2 cosas las tenemos seguras desde el principio (porque son propiedades de la igualdad), y sin meterme tanto en lógica, podemos de ahí concluir que (a+m = b+m) y que (b+m = b+n) son 2 cosas ciertas (no son propiedades de la igualdad, pero lo hemos "concluído" a partir de las propiedades).
Escrito en símbolos
a+m = b+m y b+m = b+n
Pero como (=) es una relación de equivalencia, cumple la propiedad transitiva ya bien conocida para ti, entonces podemos concluir que
a+m = b+n
Esto es la segunda parte de la demostración, la que dice que:
2.- [ (a+m = b+m) Λ (b+m = b+n) ] ---> (a+m = b+n).....Por la propiedad transitiva.
Y con eso termina la demostración.
Ahora ya puedes volver a la primera demostración y tratar de entenderla a la perfección para después hacerla por tu cuenta, sin ayuda de nadie.
Como habrás notado y ya hemos mencionado, esa propiedad es la que se utiliza en el método de suma y resta para sistemas de ecuaciones.
En otra entrada del blog usaré este ejemplo para que empieces a "adentrarte" en los conocimientos básicos de la lógica matemática. Que como sabrás, es una materia que se lleva en primer semestre de la preparatoria, y en donde muchos se confunden por la complejidad de la materia. Para eso te recomiendo que estudies ya la unidad 2 del libro, que precisamente se llama "elementos de lógica matemática". Mi intención será entonces que esa materia no se convierta en un tormento porque no entiendes absolutamente nada, sino que sea una materia interesante en donde seas consciente de que estarás aprendiendo a hacer demostraciones (argumentar cosas).
Por cierto que si sólo tomas estas clases para pasar un examen, quizá entres a la preparatoria que quieres, pero será muy difícil que pases el primer año, y lo más probable es que dejes la escuela porque te desesperó no pasar las materias (además de que te aburrían porque nunca entendías nada). Así que mejor toma estas clases para evitar todo eso, más que para sólo pasar el examen de admisión.
Suerte, bonito día a todos.
Actividades del sábado 5 de marzo.
Primero, les digo algo que deben recordar muy bien. Para que les ayudemos, les resolvamos dudas, les expliquemos aunque nos tardemos las horas, etcétera, primero deben demostrar interés. Por ejemplo, si quieren que les expliquemos cómo hacer X ecuaciones, primero deben demostrar que ya intentaron hacerla, y que buscaron información y que de plano quedaron bien confundidos (nosotros nos daremos cuenta, así que no es necesario que traigan "pruebas").
No es válido decir que ya intentaron, buscaron y de más, si en realidad no lo han hecho (también nos daremos cuenta de eso). La costumbre de secundaria de esperar que el maestro les explique todo desde el principio porque "es su obligación", en la preparatoria ya no sirve.
Ahora sí, pasando a lo del sábado, las actividades serán las siguientes:
1.- Entregan tareas los que quieran que se las revisemos. No nos llevará más de 3 minutos.
2.- Daré la explicación del método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (también se llama método por determinantes, por si alguien quiere irlo estudiando). Esto para quienes ya hayan estudiado los métodos de igualación y sustitución (estudiar no es medio leer, sino aprenderlo muy bien, tanto que puedan explicarlo a alguien más). Los que todavía no hayan estudiado esos 2 métodos, harán el estudio en ese tiempo con algún libro (dispondremos de 2 o 3 libros). Haré una pequeña prueba para saber quien ya ha estudiado y poder explicarles el nuevo método.
El método de suma y resta no lo tomaré mucho en cuenta, pero es importante que lo sepan manejar, ya que en la preparatoria se ve el tema de Matrices, y si la mayoría se confunde con el tema y tiene problemas, es porque nunca supo manejar el método de suma y resta.
3.- Si alguien entregó alguna tarea, será revisada en clase para aclarar las dudas o las confusiones (siempre que hayan hecho algún esfuerzo por intentar resolverla, como mencioné al principio). Si no hay tareas hechas, pasamos a lo siguiente.
4.- Explicarán los temas que hayan estudiado libremente.
5.- Haremos un repaso de lo que hayan leído sobre Edad Media y Renacimiento. Si alguien no leyó nada, lo estudiará durante ese tiempo (mejor llevan su librito porque no sé si dispondremos de más de uno).
Bonito día a todos.
No es válido decir que ya intentaron, buscaron y de más, si en realidad no lo han hecho (también nos daremos cuenta de eso). La costumbre de secundaria de esperar que el maestro les explique todo desde el principio porque "es su obligación", en la preparatoria ya no sirve.
Ahora sí, pasando a lo del sábado, las actividades serán las siguientes:
1.- Entregan tareas los que quieran que se las revisemos. No nos llevará más de 3 minutos.
2.- Daré la explicación del método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (también se llama método por determinantes, por si alguien quiere irlo estudiando). Esto para quienes ya hayan estudiado los métodos de igualación y sustitución (estudiar no es medio leer, sino aprenderlo muy bien, tanto que puedan explicarlo a alguien más). Los que todavía no hayan estudiado esos 2 métodos, harán el estudio en ese tiempo con algún libro (dispondremos de 2 o 3 libros). Haré una pequeña prueba para saber quien ya ha estudiado y poder explicarles el nuevo método.
El método de suma y resta no lo tomaré mucho en cuenta, pero es importante que lo sepan manejar, ya que en la preparatoria se ve el tema de Matrices, y si la mayoría se confunde con el tema y tiene problemas, es porque nunca supo manejar el método de suma y resta.
3.- Si alguien entregó alguna tarea, será revisada en clase para aclarar las dudas o las confusiones (siempre que hayan hecho algún esfuerzo por intentar resolverla, como mencioné al principio). Si no hay tareas hechas, pasamos a lo siguiente.
4.- Explicarán los temas que hayan estudiado libremente.
5.- Haremos un repaso de lo que hayan leído sobre Edad Media y Renacimiento. Si alguien no leyó nada, lo estudiará durante ese tiempo (mejor llevan su librito porque no sé si dispondremos de más de uno).
Bonito día a todos.
Operaciones de fracciones (Fracciones equivalentes)
Para resolver una suma o resta de fracciones, es necesario primero encontrar un denomidanor común al que podamos convertir las fracciones que intervienen en nuestra operación. Es por esto que es necesario comprender el concepto de "FRACCIÓN EQUIVALENTE"
Para esto,(si recuerdan) en algunos de sus libros de primaria de sexto venian ejercicios para convertir un grupo de fracciones a un mismo denominador.
Por ejemplo:
1/2, 3/4, 6/8= ___, ___, ___.
Al revisar los denominadores de nuestro grupo de fracciones, podemos darnos cuenta de que todos son multiplos de 2 (2,4,8) En este caso nos conviene tomar el término mas grande, ¿por qué razón?Porque para convertir 3/4 y 6/8 en medios, es necesario dividir nuestros denominadores y numeradores por un mismo numero que pueda convertir en primer lugar los denominadores a nuestro denominador común, es decir. primero tendría que convertir 3/4 en medios y para eso debo a dividir 4 (mi primer denominador) entre 2, pero eso implica también dividir mi numerador (3) entre dos, lo cual no me es posible. en el caso del 6/8 para convertir a medios, tendría que dividir en primer lugar mi denominador (8) entre un número que lo convierta en (2) ese número es el 4, sin embargo, también implica que el numerador de mi fracción (6) tenga que dividirlo entre (4) lo cual tampoco es posible porque no llegariamos a un resultado sin decimales.
Es así que lo más conveniente es tomar mi denominador mas grande (8)
1/2, 3/4, 6/8= __/8_, __/8__ ,__/8__.
mi primer fracción es 1/2, necesito encontrar un número que al multiplicarlo por mi denominador (2) pueda convertir mi fracción a su equivalente con denominador 8, mi número es el 4 (porque 4 x 2=8)
convirtiendo a fracción equivalente tengo:
(1x4=4 y 2x4=8 )
1/2, 3/4, 6/8= __4/8_, __/8__ ,__/8__.
se repite el mismo razonamiento en las siguientes fracciones:
1/2, 3/4, 6/8= __4/8_, __6/8__ ,__/8__.
(6x1=6 y 8x1=8 )
1/2, 3/4, 6/8= __4/8_, __6/8__ ,__6/8__.
TAREA:
CONVERTIR LOS SIGUIENTES GRUPOS DE FRACCIONES A FRACCIONES EQUIVALENTES CON UN MISMO DENOMINADOR.
4/3, 8/6, 7/9, 12/15 =
8/5, 6/10, 8/40, 6/15=
9/4, 9/12, 8/24, 5/8=
7/12, 9/2, 6/8, 18/18=
Para esto,(si recuerdan) en algunos de sus libros de primaria de sexto venian ejercicios para convertir un grupo de fracciones a un mismo denominador.
Por ejemplo:
1/2, 3/4, 6/8= ___, ___, ___.
Al revisar los denominadores de nuestro grupo de fracciones, podemos darnos cuenta de que todos son multiplos de 2 (2,4,8) En este caso nos conviene tomar el término mas grande, ¿por qué razón?Porque para convertir 3/4 y 6/8 en medios, es necesario dividir nuestros denominadores y numeradores por un mismo numero que pueda convertir en primer lugar los denominadores a nuestro denominador común, es decir. primero tendría que convertir 3/4 en medios y para eso debo a dividir 4 (mi primer denominador) entre 2, pero eso implica también dividir mi numerador (3) entre dos, lo cual no me es posible. en el caso del 6/8 para convertir a medios, tendría que dividir en primer lugar mi denominador (8) entre un número que lo convierta en (2) ese número es el 4, sin embargo, también implica que el numerador de mi fracción (6) tenga que dividirlo entre (4) lo cual tampoco es posible porque no llegariamos a un resultado sin decimales.
Es así que lo más conveniente es tomar mi denominador mas grande (8)
1/2, 3/4, 6/8= __/8_, __/8__ ,__/8__.
mi primer fracción es 1/2, necesito encontrar un número que al multiplicarlo por mi denominador (2) pueda convertir mi fracción a su equivalente con denominador 8, mi número es el 4 (porque 4 x 2=8)
convirtiendo a fracción equivalente tengo:
(1x4=4 y 2x4=8 )
1/2, 3/4, 6/8= __4/8_, __/8__ ,__/8__.
se repite el mismo razonamiento en las siguientes fracciones:
( 3x2=6 y 4x2=8 )
(6x1=6 y 8x1=8 )
1/2, 3/4, 6/8= __4/8_, __6/8__ ,__6/8__.
TAREA:
CONVERTIR LOS SIGUIENTES GRUPOS DE FRACCIONES A FRACCIONES EQUIVALENTES CON UN MISMO DENOMINADOR.
4/3, 8/6, 7/9, 12/15 =
8/5, 6/10, 8/40, 6/15=
9/4, 9/12, 8/24, 5/8=
7/12, 9/2, 6/8, 18/18=
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