Factorización.

Ahora ya tienes práctica suficiente para identificar, rápida y mentalmente las siguientes igualdades:

(x+2)² = x² + 4x + 4
(y+1)² = y² + 2y + 1
(x+3)(x-3) = x² - 9
(x-5y)(x+5y) = x² - 25y²
(2x+2)³ = 8x³ + 24x² + 24x + 8 (Compruébalo!!)

Pues bien, ahora haremos algo mucho más simple.

Sabemos que al desarrollar el binomio (x+2)² obtenemos:
(x+2)² = x² + 4x + 4

Pero si tuviéramos x² + 4x + 4 no sería acaso lo mismo que (x+2)² ??

Entonces diríamos que x² + 4x + 4 = (x+2)²

A éste proceso, le llamamos factorización.

Ejemplo.
Factorizar el siguiente trinomio:
y² + 2y + 1

Solución:
y² + 2y + 1 = (y+1)²

Recordemos que un número (o un paréntesis) al cuadrado, es una multiplicación, del número por sí mismo.

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En clase dijimos que:
Factorizar es crear factores, es decir, una suma convertirla en multiplicación. Por ejemplo, en aritmética, la suma 6+12 la podemos transformar (por la propiedad distributiva) en: 3 (2 + 4) que viene a ser exactamente lo mismo. Y escribimos

Ejemplo:
Factorizar 6 + 12

Solución
6 + 12 = 3 (2 + 4)

Convertimos una suma en una multiplicación, así que hemos factorizado.
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Si tenemos el binomio (x+4)², lo podemos desarrollar así:
(x+4)² = x² + 8x + 16
Pero si tuviéramos sólo la expresión x² + 8x + 16, podríamos factorizarla, para ésto veamos el siguiente...

Ejemplo.
Factorizar x² + 8x + 16

Solución:
x² + 8x + 16 = (x+4)²

No hemos aplicado ningún razonamiento complicado, simplemente es algo que ya sabíamos.
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Ahora si tenemos la multiplicación (x+3)(x+5)
Al multiplicar, obtenemos
(x+3)(x+5) = x² + 8x + 15 (si aún no lo haces mentalmente, hazlo en tu cuaderno, te servirá).

De esa multiplicación, podemos factorizar. Y nos queda
x² + 8x + 15 = (x+3)(x+5)

Es decir, nos regresa a la multiplicación original (convertimos la suma en multiplicación).

Te doy un truco para hacer éste tipo de factorización, que es muy conocido en la secundaria. Y bueno, si alguien nos pide factorizar
x² + 8x + 15

Recordamos que basta con buscar 2 números, tal que si los sumamos nos dé 8, y si los multiplicamos nos dé 15.
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Este último enunciado, por si alguien quiere practicar el lenguaje simbólico, se escribe:
A = { (x,y) : (x+y=8) Λ (xy=15) }

Y se lee, el conjunto A formado por: Todas las parejas de números (x,y) tales que al sumar la pareja de números, nos de 8, y al multiplicarlos, nos dé 15.
Y ese conjunto A sólo tendrá 2 elementos que cumplen la condición. Osea, la pareja (5,3) y (3,5) que pal caso viene a ser lo mismo.
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Volviendo al problema, ya sabemos entonces que los 2 números que cumplen la condición, son el 3 y el 5 (en cualquier orden).

Entonces nuestros factores serán (x+3) y (x+5). Ya que al multiplicarlos, tenemos: (x+3)(x+5) = x² + 8x + 15

Y así queda factorizado. Todo esto lo resumimos así:

Ejemplo:
Factorizar x² + 8x + 15

Solución:
Buscamos 2 números que al sumarlos dé 8, y al multiplicarlos nos dé 15.
Después de pensar un poco, nos damos cuenta de que esos números son el 5 y el 3.
Así que ya podemos factorizar, quedando finalmente:
x² + 8x + 15 = (x+3)(x+5)

Ahora veamos otros ejemplos.

Ejemplo:
Factorizar x² + 11x + 28

Solución:
Pensando en 2 números que al sumarlos dé 11, y al multiplicarlos dé 28, tenemos que esos números son el 7 y el 4. Así que factorizando, tenemos:
x² + 11x + 28 = (x+7)(x+4)

Ejemplo:
Factorizar x² - 3x - 40

Esto es lo mismo que x² + (-3x) + (-40)
Así que necesitamos 2 números que al sumarlos dé (-3) y al multiplicarlos dé (-40)
Los números son 5 y (-8)
Entonces tenemos finalmente:
x² - 3x - 40 = (x+5) (x-8)

De este último ejemplo vamos a comprobar que no me equivoqué, así que si yo multiplico (x+5) (x-8) obtengo:
(x+5) (x-8) = x² -8x +5x - 40
Simplificando
(x+5) (x-8) = x² - 3x - 40

Entonces veo que no me equivoqué al factorizar.

No dejaré aquí la tarea por obvias razones. Entonces la tarea de este tema la daré personalmente a quien lo pida (entregando las tareas de los otros temas).