Productos notables (introducción)

Antes que nada, quiero decirles que no se desanimen. Yo sé y estoy muy consciente de que tienen miedo a muchas cosas: a no pasar el examen, a no entender los temas, a no cumplir con lo que en su casa esperan de ustedes, y muchas cosas más; aparte sé también que algunos temas son algo complicados para ustedes, y reconozco que si en mis tiempos de secundaria alguien me hubiera dado un curso así, me hubiera sido bastante difícil y hasta desesperante. Pero ahora que veo todo lo que no aprendí en mi preparatoria, se me hace una lástima que nunca nadie me haya exigido entender cosas como el lenguaje lógico, o que me hayan exigido aprender a hacer las demostraciones, saber los axiomas de campo, o cosas de ese tipo.

Pero la solución a todo eso, es que hagan esfuerzos por entender las cosas, o leer cosas nuevas. Pero si entre semana se dedican a cualquier otra cosa como lo han venido haciendo, van a seguir igual con muchas dificultades y así, créanme, no la van a hacer.

No les exigimos tareas porque ustedes deben aprender a madurar, y a no hacer las cosas sólo cuando los presionen. Deben aprender a hacer sus cosas por ustedes mismos, sin que nadie les diga que lo hagan. Y ya de hecho nunca les exigiremos tareas.

Ya les dije alguna vez (algo que hace poco me dijo una profesora), la fuerza de voluntad es puro cuento, no existe; lo que los va a llevar adelante es el interés (esta frase es desalentadora, pero cierta).

Bueno, ahora sí, pasemos al tema en cuestión.
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Sábado 5 de marzo (perdón por el error de la entrada anterior, quice decir domingo 6 de marzo) algunos vimos el método de cramer para resolver sistemas de ecuaciones.

Hasta este momento me supongo ya saben resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y sistemas de 2 ecuaciones.

Sabemos ya también realizar algunos manejos algebraicos para resolver dichas ecuaciones. Por ejemplo agrupar, reducir términos semejantes, multiplicar polinomios, etc.

Acerca de los polinomios, hagamos un pequeño repaso (además de lo visto en las clases, es un tema propiamente de secundaria, por lo cual no pueden esperar que les "enseñemos" todo esto desde el principio), entonces si hay algo que no sepan, busquen en sus libros, o en sus apuntes de secundaria (si es que tomaron apuntes).

Suma (y resta) de polinomios.

(5x+2y+4z-3x) - (2x+3y-7) = (2x+2y+4z) - (2x+3y-7)
...........................................= (2x+2y+4z) - 2x -3y +7
como ya sabemos asociar, y conmutar... = 2x-2x+2y-3y+4z+7
..............................................= 0 - y +4z + 7
..............................................= -y +4z + 7

Multiplicación de polinomios

( 5x + 3) (2x - 8 ) = (5x + 3) (2x + (-8))
............................= 10x² + (-40x) + 6x + (-24)
............................= 10x² - 40x + 6x -24 (por definición de resta)
............................= 10x² - 34x -24

En general, (a+b)(m+n) = am+an+bm+bn (la demostración se realizó en las clases como 4 veces)

La misma demostración puede aplicarse para números más grandes (pero no la haremos), entonces tendríamos

(a+b+c) (m+n+q+r) = am+an+aq+ar+bm+bn+bq+br+cm+cn+cq+cr

Ahora, intenta comprobar la siguiente multiplicación en tu cuaderno.

(2x+5y+8)(8x-10y-2) = 16x² + 20xy + 60x - 50y² - 90y - 16

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Veamos ahora lo que en secundaria llamaban "productos notables" es decir, multiplicaciones que podemos hacer casi de memoria, sin hacer todo el desarrollo. Por ejemplo (x+2)² = x²+4x+4 que se puede realizar directamente sin hacer toda la multiplicación.

Para esto tenemos el siguiente Teorema (o proposición):

(a,b Є R) ---> (a+b)² = a² + 2ab + b²

(el primero al cuadrado, más el doble del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado)

Demostración

Supongamos a,b Є R
(a+b)² = (a+b) (a+b)....Por definición de número al cuadrado
(a+b)(a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b ...Multiplicando los binomios
a·a + a·b + b·a + b·b = a² + a·b + a·b + b²
a² + a·b + a·b + b² = a²+2ab + b²

.·. (a+b)² = a²+2ab + b²

En matemáticas los 3 puntitos (.·.) significan "por lo tanto".

Ahora sí ya sabes por qué la ecuación (x+2)² = x²+4x+4 es verdadera, y sabes también por qué un binomio al cuadrado puede desarrollarse directamente.

Ejemplo
Desarrollar el siguiente binomio al cuadrado:
(x+5)²

Tenemos pues, por el teorema que acabamos de demostrar, que no es necesario realizar toda la multiplicación (x+5)(x+5) sino que basta simplemente con elevar el primero al cuadrado (x²) luego sumarle el doble del primero por el segundo (2)(x)(5) que es igual a (2)(5)(x), o también 10x. Y finalmente sumarle el segundo al cuadrado (5²) que es igual que 25.

Entonces todo éste párrafo nos dice:

(x+5)² = x² + (2)(x)(5) + 5²
...........= x² +10x + 25

Tomemos otros ejemplos
Desarrollar el siguiente binomio
(y+3)²

Solución:
(y+3)² = y²+(2)(y)(3)+3² = y²+6y+9

Desarrollar (4x+5y)²
Solución:
(4x+5y)² = (4x)² + (2)(4x)(5y) + (5y)²
...............= 16x² + 40xy + 25y²

Y a continuación unos ejercicios de tarea para que practiquen:

EJERCICIOS

Desarrollar mentalmente los siguientes binomios al cuadrado

(x+4)²
(2y+5k)²
(2y+1)²
(2xy+1)²
(3xw+5xy)²

Desarrollar el siguiente binomio
(x-y)² Sugerencia: toma en cuenta que x-y = x+(-y)

Demostrar que (x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Este último producto notable es conocido como "binomio al cubo"

Demostrar que (x+y)(x-y) = x² - y²
Este último producto notable es conocido como "diferencia de cuadrados" (diferencia por ser una resta).

Utilizando lo aprendido de esta última demostración, realiza las siguientes multiplicaciones mentalmente
(x+2)(x-2)
(3x+3)(3x-3)
(2x+5y)(2x-5y)
(5ab + 2qr)(5ab - 2qr)