Algo más sobre fracciones

Para el domingo 5 de marzo, leerán todo lo que puedan sobre la Edad Contemporánea para Historia. Unas 3 horas de lectura será suficiente aproximadamente.
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Consideremos a' como el inverso multiplicativo de a. Es decir:
a'·a = 1

Debo advertir que si aún no sabes resolver fracciones simples a la perfección, ya sabes que hacer; porque de lo contrario será muy difícil que entiendas la siguiente explicación.

Ahora supongamos la igualdad 20·5' = 4
Esto es, 20 por el inverso multiplicativo de 5, da como "resultado" 4.
O como nosotros lo conocemos, 20/5 = 4 (20 entre 5 igual a 4)

Como otros ejemplos:

30·6' = 5
42·7' = 6
7·5' = 7/5
11·x' = 11/x
14/5 = 14·5'

Todo esto significa que a·b' lo podemos escribir a modo de fracción (o de división) a pesar de que sabemos que en el campo de números reales no existe la división. Entonces nos queda a/b (a sobre b).

Sucede algo similar que con la resta, recordemos que a+(-b) = a-b Y así es como definimos la resta (no existe la operación resta en R, pero es una forma de abreviar)

Igual con la división, podemos decir que m·n' = m/n

Ahora, vamos a considerar una división:

2x+3
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5

Pero por comodidad, esta misma división la escribiremos (aquí en el blog) como (2x+3)/5

Ahora esta misma división (por lo que acabamos de ver) la podemos escribir como (2x+3)·5' (revisar por qué).

En general, podemos decir que (a+b)/k = (a+b)·k'

De ésta última ecuación, podemos aplicar la propiedad distributiva, y nos quedaría
a·k' + b·k' = a/k + b/k (escrito en forma de fracción, como en los primeros ejemplos).

Para ésto, podemos enunciar una proposición (que por cierto se me acaba de ocurrir...), y esta es:

Proposición:
Si a,b,c son números reales, entonces (a+b)/c = a/c + b/c

Demostración:
Consideremos a,b y c como números reales.

(a+b)/c = (a+b)·c'.....Por la definición de división
(a+b)/c = c'·(a+b)......Propiedad conmutativa
(a+b)/c = c'a + c'b.....Propiedad distributiva
(a+b)/c = ac' + bc'.....Otra vez la conmutativa
(a+b)/c = a/c + b/c....Definición de división

Y listo!!

Ahora, hagamos esta misma demostración, en lenguaje lógico-simbólico, esperando que ya tengas práctica suficiente para entenderlo. Entonces queda:
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Proposición
(a,b,c Є R) ---> [ (a+b)/c = a/c + b/c ]

Demostración:

Sean a,b,c Є R

(a,b,c Є R) ---> (a+b)/c = (a+b)·c' ---> (a+b)/c = c'·(a+b) --->
(a+b)/c = c'a + c'b ---> (a+b)/c = ac' + bc' ---> (a+b)/c = a/c + b/c

Y queda demostrado.
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Nos damos cuenta que en ésto que hicimos (llamado demostración directa) se emplea un esquema tipo:

Si p, entonces q. Si q, entonces r. Si r, entonces s. Si s, entonces t.....

O en símbolos

p-->q, q--->r, r--->s, s--->t......

O más abreviado

p --->q ---> r ---> s ---> t......

Bueno, no me meteré tanto en lógica por ahora. De hecho los conocimientos de lógica se utilizan para aprender a hacer demostraciones, podríamos decir que para eso sirve la materia de lógica en 1er semestre de la preparatoria: para aprender a demostrar.

Entonces, la demostración anterior podría extenderse a muchos números más, quedando por ejemplo:

(ax+by+c-5x)/x = ax/x + by/x + c/x - 5x/x
..........................= a·1 + by/x + c/x - 5·1
..........................= a + by/x + c/x - 5

Como un segundo ejemplo:


(4x³ + 6x² -8x + 10)/2x = 4x³/2x + 6x²/2x - 8x/2x + 10/2x
(quienes ya saben simplificarlo)= 2x² + 3x - 4 + 5/x

Te sugiero que todo esto lo vayas escribiendo en tu cuaderno, ya que tratar de estudiarlo con una "escritura de blog" será un poco difícil. Y es que no es lo mismo ver 5/3 que ver 5 tercios a modo de fracción.

Bueno, entonces, la demostración con muchos números no la haremos por ser algo un poco más complicado, pero basta con "intuír" que

(a+b+c+d+e+f+...n)/k = a/k + b/k + c/k + d/k + ... + n/k

Donde n es el último número adentro del paréntesis.

No pretendas entender todo esto en un rato, digamos media hora, sino que requiere su tiempo, tal vez lees una parte en media hora, luego descansas... luego otra media hora para leer otra parte... descansas... y luego la última parte en otra media hora. Después puedes intentar a hacer tu propia demostración para que vayas aprendiendo.

Buen día a todos.