Esta es una demostración que deben conocer muy bien, y que viene de hecho en la página 116 del libro, pero viene de una forma distinta a como lo explicaré. Al estudiar y comparar las 2 formas de demostrarlo (la mía y la del libro) seguramente les quedará mucho más claro.
Antes de eso, daré algun repaso y un ejemplo.
Sabemos ya, que como (=) es relación de equivalencia, con 2 propiedades "extra", podemos aplicar una que hemos llamado Propiedad aditiva (de uniformidad para suma). Y esto nos permite que si por ejemplo tenemos la igualdad (ecuación):
-6x+5 = 15
Podemos sumar cualquier número real, a ambos lados de la igualdad, sumemos por ejemplo el inverso aditivo de 5:
-6x+5+(-5) = 15+(-5)
Y de aquí tenemos una ecuación, la cual podemos dejar así (en matemáticas, generalmente no existe eso de "resultados") o podemos simplificar más usando algunos de los axiomas que ya conocemos, por lo que nos quedaría
-6x + 0 = 10
Y este ya es un "resultado", pero podemos seguir simplificando, lo que nos quedaría
-6x = 10 ...... (recuerda qué axioma utilizamos)
Y si así seguimos, hasta resolver la ecuación para -6, obtenemos
-6 = 10/x ...... (10 entre X)
Es una opción, pero también podemos resolver la ecuación para X (recuerda lo que les dije en clase acerca de resolver una ecuación, que debemos de especificar para qué número vamos a resolverla) Entonces, resolviendo para el número X, nos queda:
x= 10/-6
Simplificando
x=-(5/3).....(menos cinco tercios)
Pero ahora, en nuestra tierna infancia aprendimos que podíamos hacer (sin saber por qué) algo como que:
Si tenemos que 2x+5y = -8 y además que -2x+4y = -10
(es un sistema de ecuaciones)
entonces podemos sumar los lados izquierdos de las ecuaciones, y eso será igual a sumar los lados derechos. (algo como si a=b y c=d, entonces a+c=b+d) Y queda así como sigue:
(2x+5y)+(-2x+4y) = (-8)+(-10)
Conmutando y asociando, los reacomodamos como:
2x-2x + 5y+4y = (-8)+(-10)
0 + 9y = -18
9y = -18
Que si te das cuenta, es el método de suma y resta que ya conocías, exactamente lo mismo. Que de hecho tú lo escribes como
2x+5y = -8
-2x+4y=-10
-----------------
0 + 9y = -18 ---------> 9y=-18
(de todas formas sumas los lados izquierdos, y luego los lados derechos).
En general, lo que hemos hecho es que si tenemos 2 ecuaciones a=b y m=n, entonces también podemos sumar estas ecuaciones, así:
a+m = b+n
osea, sumar lados izquierdos, y luego lados derechos, como en el ejemplo anterior.
Ahora sí, a lo que trata todo ésto, es decir, la demostración del teorema. O dicho de otro modo, al por qué podemos sumar lados izquierdos, y luego lados derechos, usando la lógica y no el falso argumento de que "pues es que así me lo enseñaron en la secundaria".
Primero, escribo la demostración en lenguaje lógico-simbólico (esperando que ya hayas estudiado las primeras 2 unidades del libro) y luego hago una pequeña explicación "en español". Entonces tenemos.....
Proposición:
Sean a,b,m,n Є R
(a=b Λ m=n) ---> a+m = b+n
Demostración:
1.- (a=b ---> a+m=b+m) Λ (m=n ---> b+m = b+n).....Por la propiedad aditiva
2.- [ (a+m = b+m) Λ (b+m = b+n) ] ---> (a+m = b+n).....Por la propiedad transitiva.
Y queda demostrado.
Ahora, te sugiero que intentes entender a la perfección esto que acabo de escribir sin leer lo que sigue.
Si aún no lo puedes entender, o en algunas partes te confundes, hago la demostración "con palabras".
Proposición. Sean a,b,m,n números reales.
Si a=b y m=n, entonces a+m = b+n
Demostración
Supongamos que a=b (osea, supongamos que tenemos 2 números iguales) y además m=n (otros 2 números iguales)
Algo que tenemos seguro, es que a=b implica que a+m=b+m (por la propiedad aditiva). O escrito en símbolos
a=b ---> a+m = b+m
Y otra cosa que tenemos segura debido a las propiedades de la igualdad (=), es que m=n implica que m+b = n+b (o lo que es lo mismo, b+m = b+n) En símbolos:
m=n ---> b+m = b+n
Si te das cuenta hasta aquí ya tenemos la primera parte de la demostración, que en la que escribí con puro símbolo, era la siguiente:
1.- (a=b ---> a+m=b+m) Λ (m=n ---> b+m = b+n).....Por la propiedad aditiva
Ahora, esas 2 cosas las tenemos seguras desde el principio (porque son propiedades de la igualdad), y sin meterme tanto en lógica, podemos de ahí concluir que (a+m = b+m) y que (b+m = b+n) son 2 cosas ciertas (no son propiedades de la igualdad, pero lo hemos "concluído" a partir de las propiedades).
Escrito en símbolos
a+m = b+m y b+m = b+n
Pero como (=) es una relación de equivalencia, cumple la propiedad transitiva ya bien conocida para ti, entonces podemos concluir que
a+m = b+n
Esto es la segunda parte de la demostración, la que dice que:
2.- [ (a+m = b+m) Λ (b+m = b+n) ] ---> (a+m = b+n).....Por la propiedad transitiva.
Y con eso termina la demostración.
Ahora ya puedes volver a la primera demostración y tratar de entenderla a la perfección para después hacerla por tu cuenta, sin ayuda de nadie.
Como habrás notado y ya hemos mencionado, esa propiedad es la que se utiliza en el método de suma y resta para sistemas de ecuaciones.
En otra entrada del blog usaré este ejemplo para que empieces a "adentrarte" en los conocimientos básicos de la lógica matemática. Que como sabrás, es una materia que se lleva en primer semestre de la preparatoria, y en donde muchos se confunden por la complejidad de la materia. Para eso te recomiendo que estudies ya la unidad 2 del libro, que precisamente se llama "elementos de lógica matemática". Mi intención será entonces que esa materia no se convierta en un tormento porque no entiendes absolutamente nada, sino que sea una materia interesante en donde seas consciente de que estarás aprendiendo a hacer demostraciones (argumentar cosas).
Por cierto que si sólo tomas estas clases para pasar un examen, quizá entres a la preparatoria que quieres, pero será muy difícil que pases el primer año, y lo más probable es que dejes la escuela porque te desesperó no pasar las materias (además de que te aburrían porque nunca entendías nada). Así que mejor toma estas clases para evitar todo eso, más que para sólo pasar el examen de admisión.
Suerte, bonito día a todos.
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